3 Критические уровни в развитии природных систем

Графическое решение этого неравенства (см. рис. 23) показывает, что оно выполняется только при

z(Ot, = k(tt)t,exp[-z(t,)t,].

Тогда

k(t,)t,= l/e (3.26)

И

2(0'.= 1- (3.27)

Отсюда, подставляя (3.27) в (3.18), получим

xjx0=l/e. (3.28)

Из (3.26) и (3.27) следует или

* (О = <3-29>

Выражения (3.26) и (3.27) характеризуют предельные условия развития, так как при переменных k{t) и x(t) их произведение не может быть больше значения, определяемого уравнением (3.26). В связи с этим достижение величиной k(t) границы (3.26) характеризует конец стабильного режима развития.

Умножим правую и левую части соотношения (3.29) на t* и подставим полученные значения в (3.18). В связи с тем что условие (3.21) дает оценку решений снизу, получим

xjx0 > exp [- z(О / J = exp [- k (Q e/J. (3.30)

В разделе 1.3 говорилось о том, что широко распространены ал-лометрические процессы, у которых k(t) — B/t, т. е. относительные приросты убывают обратно пропорционально возрасту системы. Рассмотрим аллометрический режим и подставим k(t) =B/t в неравенство (3.30). Тогда

xJxQ>exp(-Be)9 (3.31)

в результате чего оказывается, что оценкой концов стабильных траекторий снизу является константа, определяемая параметром аллометрического процесса В, т. е. углом наклона траектории процесса на его линейном участке в двойном логарифмическом масштабе.

Оценкой траекторий процесса сверху является случай, когда отсутствует запаздывание, т. е. процесс описывается уравнением

интегралом которого является степенная функция

х = АГВ,

в результате чего оценка сверху определяется соотношением

*А><(ШВ. (3.32)

9»

Из (3.31) и (3.32) следует

ехр (— Be) < xjx0 < (tJt0)~D,

откуда

tjtQ<^ee= 15.15426 ... (3.33)

Следовательно, отношение между значениями аргумента, соответствующими началу и концу стабильного аллометрического развития, является величиной постоянной и равной ее (Кузьмин, Жирмунский, 1980а, 19806).

Исследование уравнения (3.17) для аллометрического режима, т. е. при k(t)= B/t, на основе теоремы Красовского (1959) показало, что устойчивость тривиального и асимптотического решений обеспечивается вплоть до критической точки (Жирмунский, Кузьмин, 1982). Из (3.26) следует, что для базовой переменной величина показателя степени В (угол наклона в логарифмическом масштабе) является постоянной и равна

В=1/е. (3.34)

Таким образом, критические соотношения детерминируют одновременно значения функции и аргумента в последовательных критических точках и характер перехода между ними, что находит отражение в экспериментальных данных в теории критических явлений (Фишер, 1968; Паташинский, Покровский, 1975; Ма, 1980). В этой теории введена гипотеза подобия (Паташинский, Покровский, 1975), в соответствии с которой из большого набора характеристик, фиксирующих критические явления, выделяется одна — характеристическая длина. Исследуется ее зависимость от разности температур (Т—Гс), где Т и Тс — соответственно текущая и критическая температуры. Зависимости для изменения остальных переменных в окрестности критической точки устанавливаются с использованием соотношений теории размерности. Такой подход в настоящее время вызывает большой интерес в связи с тем, что при введении единой системы эталонов для измерения различных физических величин делаются попытки использовать один эталон — временной, а остальные рассчитывать с использованием зависимостей типа степенных функций, основанных на фундаментальных константах.

Различные физические характеристики представляют взаимосвязи между состояниями систем, которые характеризуют один и тот же либо разные уровни иерархии. Отсюда можно ожидать, что значения показателя степени отражают информацию о том, характеристики каких уровней иерархии представляют анализируемые данные. Например, зависимость между массой тела и массой скелета у животных описывается зависимостью, в которой В = 1, что •определяет принадлежность этих характеристик к одному иерархическому уровню. Зависимость между длиной тела и длиной головы человека имеет 5 = 2.6, т. е. данные относятся к разным иерархией

ческим уровням (длина тела является характеристикой целого, а длина головы — его части).

По результатам экспериментальных исследований, сведения о которых приводятся Фишером (1968) и Ма (1980), в степенных зависимостях теплоемкости и спонтанной намагниченности от (Т — — Тс) показатели степени в первом случае представлены диапазонами 0.11—0.17, 0.13-0.19, 0.125 ±0.015, 0.14 ± 0.06, 0.07—0.14, а во втором случае составляют 0.32—0.36, 0.32—0.39, 0.312 ±0.03, 0.37 ±0.04. Эти значения близки соответственно к 1/е2 = 0.135... и 1/^ = 0.367. Можно убедиться, что и для остальных характеристик, по которым приводятся экспериментальные данные, они соответствуют критическим соотношениям ряда, который рассмотрен полностью в разделе 6.

Таким образом, величина показателя степени несет информацию о принадлежности анализируемых величин определенным структурным уровням. В этом случае две величины одного структурного уровня не дают при совместном рассмотрении новой информации. Отсюда выполнение условия (3.34) для уровня алло-метрии является характерным признаком базовой переменной.

Для аллометрического уравнения неустойчивого типа

x(t) = k(t)x[t — x(t)] (3.35)

будем искать решения в виде (2.13)

х = х0 ехр [г(0 г].

Тогда характеристическое уравнение имеет вид

z(t)t + z (t) = k (0 ехр [г (t - т) (/ - т) - z (01].

Используя неравенство (3.21), получим оценку решений уравнения неустойчивого типа снизу:

z(t)i + z{1)>k(1)exp[-z(t)t]. (3.36) Перепишем (3.36) с учетом неравенства (3.22)

0 > 2 (/)*> — 2 (0 + k (0 ехр [- 2 (/) /],

откуда

г (0 > Л (0 ехр [—z(00. (3.37)

В разделе 3.1 было показано, что в случае равенства в выражении (3.37) появляются псевдоположительные корни при kx = = (3/2)я (см. 3.2). Для этого же значения kx выполняется неравенство (3.37). При этом, согласно (3.9), 2т = 1.293... Тогда

z/k = 2- 1.293/(3л)

или

2(/) = Jfe(/)-2- 1.293/(3я). (3.38)

Это равенство выполняется в критической точке, за которой идет режим колебаний с экспоненциально растущей амплитудой.

5    А. В. Жирмунский, В   И   Кузьмин 66

1.293-2

11

37Г

I—--_I

Рис. 25. Схема формирования последовательных аллометрическнх диапазонов устойчивого (/) и неустойчивого (//) типов

Значение аргумента в этой точке обозначим, как и раньше, Умножим правую и левую части (3.38) на и подставим в (2.13). Тогда

xjx0 > exp {[2 • 1.293/(3л)] k (г,) Q.

Для аллометрического режима следует k(t) — B/t и

*/t0>exp{[2 • 1.293/((3л)]5}. (3.39)

С другой стороны, оценка решений уравнения неустойчивого типа сверху дается уравнением аллометрического роста без запаздывания:

x = (B/t)x.

Откуда x = AtB и траектории этого уравнения не будут превосходить чистого аллометрического режима, т. е.

*,/*о< (3.40)

Из (3.39) и (3.40) получим

ехр {[2 • 1.293/((3я)] В} < xjx0 < (tjt0)*

или после сокращения на В —

<Л>ехр[2 - 1.293/(3я)). (3.41)

По мере уменьшения т отношение возрастов в двух последовательных критических точках асимптотически стремится к величине

г^0 = ехр[2 • 1.293/(3л)] = 1.316 ... (3.42)

Таким образом, два последовательных аллометрическнх режима устойчивого и неустойчивого типов при малых запаздываниях перекроют диапазон возрастов, определяемый произведением соотношений (3.33) и (3.42), т. е.

^0= 15.154- 1.316= 19.943 (3.43)

(рис. 25) (Кузьмин, 1985). 66

3.3. Критические уровни моделей экспоненциального развития

Известно, что при постоянных внутренних и внешних условиях развитие происходит по экспоненциальному закону. В разделе 3.1 показано, что при изменении характеристик системы в некотором диапазоне внутренних и внешних условий развитие также остается экспоненциальным, если выполняются определенные ограничения на параметры процесса, описываемого уравнением развития.

Введем безразмерный аргумент

///о = 6. (3.44)

Тогда для степенной зависимости получим

x = AtoQB = AfiB. Введем новую переменную

Л = 1п9Г (3.45)

которая также безразмерна. Тогда

х = Ах ехр г),

т. е. получена экспоненциальная зависимость.

В связи с тем что для аллометрического процесса устойчивого типа, согласно (3.33), соотношение возрастов в двух последовательных критических точках 0* ^ ее, получим

^ = 1пе#<в, (3.46)

т. е. для экспоненциальной функции соотношение аргументов в последовательных критических точках не превосходит е. Представим некоторые соображения по проверке соотношения (3.46).

Рассмотрим уравнение развития устойчивого типа (3.17), когда реализуется критическая точка, в которой запаздывание равно возрасту системы, т. е. /* = т. Тогда характеристическое уравнение (3.20) для критической точки перепишется в виде

4 (О'. + 2(0 = * (Оехр [z(ОМ-

Условие критического режима (3.27) в этом случае имеет вид

и его подстановка в (3.18) приводит к отношению

xjx0=l/e, (3.47)

т. е. в критической точке, где (* = ти выполняется условие критического режима (3.27), отношение размеров в двух последовательных критических точках равно е.

Отметим, что выражения (3.8) и (3.27) соответствуют широко используемому в теории размерностей эмпирическому правилу, в соответствии с которым в окрестности критической точки величина

5*

67^

безразмерной переменной имеет порядок единицы (Мигдал, 1975). Показано (Эшби, 1962; Турецкий, 1974), что для развития систем с запаздыванием характерно включение механизмов регуляции (адаптации к новым условиям развития) с периодом, равным времени запаздывания. Это соответствует известному способу оценки критических состояний, при котором в критической точке величина запаздывания близка к возрасту системы (Паташинский, Покровский, 1975).

Динамику релаксаций часто считают экспоненциальной функцией времени (Дей, 1974). Для процессов с экспоненциальным изменением запаздывания со временем

т = т0ехр(&/). Откуда в соответствии с (3.47)

т./т0 = е

и из условия равенства запаздывания аргументу в критической точке

т. е. воспроизводится соотношение (3.46).

Отсюда последовательность критических значений аргументов можно представить последовательностью

tk = etk-u   k = 0y 1, 2, (3.48)

где к— номер критической точки. Если аргументом является возраст системы, значение tk характеризует критический возраст (или критический рубеж). Таким образом, для экспоненциальных процессов развития систем критические значения аргументов отстоят друг от друга так, что их отношение постоянно и равно е.

Число Непера как критическое хорошо известно и широко используется в теории и практике моделирования. Так, при моделировании роста с использованием уравнений Берталанфи и Гом-пертца отношение предельного размера к размеру в точке перегиба равно е (Мина, Клевезаль, 1976). Содержательность этих моделей, очевидно, связана с тем, что в них критический характер соотношения размеров развивающейся системы в е раз представлен самим видом используемой зависимости.

«Постоянные времени» вводят как величины, когда изучаемая характеристика убывает в е раз (Гинкин, 1962). В теории информации известно, что максимум помехоустойчивости получается, когда вероятность равна е~1 (Шеннон, 1963). Этот результат согласуется с общими свойствами функций типа энтропии, которые называют степенно-показательными (Савелов, 1960).

Еще одна область, где величина е фигурирует как критическая, относится к построению иерархических структур из большого числа однородных элементов. Идеальной по времени распространения информации является иерархия с модулем, равным е (Флейшман, 1971).   В   целочисленном   варианте это соответствует троичной

68

структуре, находящей широкое распространение в линейных иерархиях (Обэр-Крие, 1973).

Для процесса неустойчивого экспоненциального типа в критической точке    = т из отношения (3.42) следует

в<я=/в//0 = 2. 1.293/Зя

или в соответствии с (3.5), (3.8) и (3.9)

2- 1.293/3я = ехр(—1.293),

откуда

е, = /в/*0 = ехр(— 1.293)= 1/3.644. (3.49)

Значит, отношение возрастов (значений аргументов) в двух последовательных критических точках для экспоненциального процесса неустойчивого типа равно 3.644... Полный диапазон для пары процессов устойчивого и неустойчивого типов составляет в этом случае

tjtQ = exp 2.293 ... = 9.905 ... (3.50)

Таким образом, полный диапазон пары процессов устойчивого и неустойчивого типов близок к изменению возрастов в критических точках на порядок.

3.4. Иерархия критических констант

В разделе 3.3 рассматривалась иерархия процессов развития. При этом последовательность моделей иерархических уровней получалась путем введения зависимостей темпов роста (или величин относительных приростов от времени — аргумента процесса), т. е. для экспоненциального роста — темп постоянный, для аллометрического режима — обратно пропорционален возрасту (аргументу процесса), для огибающей аллометрических режимов — обратно пропорционален tin t и т. д. Модель экспоненциального типа является описанием характеристик развития на нижнем уровне, ал-лометрическая модель появляется как огибающая процессов экспоненциального типа при убывающих темпах, аналогично происходит агрегирование последовательности моделей аллометрического типа.

В разделе 3.1 было показано, что уравнение развития (2.4) обеспечивает возможность экспоненциального изменения характеристик системы в области, ограниченной соотношением вида

и = а/т, (3.51)

где константа а — 1.293... (3.9) для процесса неустойчивого типа и я= — 1 для процесса устойчивого типа (3.16). Отсюда при реализации процесса развития в окрестности критической границы (3.51)

х = (а/х)х.

69

В результате агрегирование происходит указанным выше способом за счет того, что в процессах экспоненциального типа с падающими темпами соблюдается равенство

r = b{t.

Отсюда

х = (a/b{t) х = (Bjt) х,

т. е. возникает аллометрический режим. Последовательность алло-метрических режимов характеризуется равенством

т = b2t In t,

откуда их огибающая получается как реализация процесса в окрестности критической границы

dx/dt = [a/(b2t\nt)]xy

т. е. запаздывания предыдущего уровня формируют в уравнении развития функцию k(t) последующего уровня. Таким образом, иерархия моделей развития, в которой за первый уровень будем считать равномерный процесс, последовательных критических уровней имеет вид

dx2/dt = k2x2 (t — b2t), dx3/dt = (B3/0 *3 (/ - b3t In t), (3.52)

dxjdt = [BJ(t In /)] xA (t — bAt In t In In /),

где xt (/ = 1,2...) — размер системы на уровне иерархии i.

Будем измерять время в длительностях характерного элементарного процесса на нижнем уровне иерархии /0>

е = *//0.

Тогда, согласно функциям, являющимся аргументами процессов на разных иерархических уровнях, существует пороговое значение относительного возраста развивающейся системы, начиная с которого включается соответствующий иерархический уровень. Так, экспоненциальные процессы начинаются с нулевого момента времени развития (значения аргумента). Аллометрические процессы включаются с 8 = 1, огибающая аллометрических режимов, определяемая временем 04 = In In 0, включается с 0 = е. Следующий уровень развития запускается при 0 = ее и т. д.

Можно заметить, что запуск процесса на данном уровне иерархии происходит при значении безразмерного времени, определяемом критическим отношением возрастов (значений аргумента) в двух последовательных критических точках на уровне, находящемся по отношению к рассматриваемому через один вниз. Так, критическое соотношение в е раз между последовательными критическими возрастами характерно для экспоненциальных процессов (3.46), и оно включает процесс, являющийся огибающей аллометрических режимов развития. Соотношение ее (3.33), характерное

70

Рис. 26. Зависимости аргументов процессов с убывающими относительными приростами от безразмерного времени для различных уровней иерархии.

Точки включения уровней иерархии определяются значением безразмерного времени, при котором Г=0, // — экспоненциальный процесс, /// —аллометрический процесс, IV и V — огибающие аллометрическнх процессов.

для процессов устойчивого аллометрического типа, запускает развитие на уровне, отстоящем от аллометрического через один уровень и т. д. (рис. 26).

Таким образом, в процессах развития систем формируется иерархия структурных уровней, которая характеризуется критическими отношениями для процессов устойчивого типа, определяемыми в зависимости от уровня иерархии рекуррентным соотношением

Nk= expNk_u   * = 0, 1, 2 (3.53)

где Nk — отношение между возрастами (значениями аргумента) в двух последовательных критических точках. Назовем эти значения критическими константами. Для процессов устойчивого типа Nq — = 0, откуда последовательность критических соотношений по уровням иерархии имеет вид, приведенный в табл. 2.

В соответствии с выражениями (3.42) и (3.48) для процессов неустойчивого аллометрического и экспоненциального типов критические константы появляются на уровне экспоненты и определяются начальной критической константой

#0 = ехр(- 1.293 ..,).

Следовательно, весь период развития разбит на стадии. Переход от стадии к стадии происходит скачком, характеристики которого фиксируются в изменении скорости экспоненциального роста, либо

71

Таблица 2

Критические^ константы для процессов устойчивого типа и относительные возраста включения уровней иерархии

Уровень иерархии, k

Уровень иерархии, включаемый при данном отношении

Отношение между значениями

аргументов в последовательных критических точках, N^

Наименование уровня иерархии

0

2

0

1

3

1

Равномерный

2

4

е

Экспонента

3

5

ее

Аллометрия

4

6

ее

Огибающая  алло-

метрий

параметра аллометрии, либо параметра огибающей аллометрий и т. д. Точки смены параметров являются критическими, в них происходит изменение качественных характеристик развивающейся системы. Критические точки упорядочены по иерархической значимости. Значимость критической точки для процесса развития повышается по мере роста диапазона возрастов и размеров между последовательными критическими точками, т. е. с ростом уровня иерархии в ряду экспонента — аллометрия — огибающая аллометрий и т. д.

Особый интерес здесь представляют большие критические отношения, которые должны хорошо проявляться в экспериментальных данных. Интересно, что оценку критической константы устойчивого типа для огибающей аллометрий обнаружил по экспериментальным данным Шмальгаузен (1984). Он рассматривал весь период индивидуального развития от начала эмбрионального развития до смерти организма (онтогенез) как последовательность ал-лометрических режимов и нашел, что предельный объем любых организмов определяется начальным размером. Шмальгаузен ввел показатель, который назвал «удельной производительностью» роста:

т

u = \[B(t)/t)dt,

1

где В — показатель аллометрии.

В случае аллометрического режима изменение объема определяется зависимостью

dV/V = B(dt/t)

или

т

In V = $ (В/О dt + In с,   V/V0 = ехр и. (3.54)

1

72

В связи с тем что весь процесс развития включает ряд аллометрическнх режимов (рис. 1), можно найти «удельную производительность», интегрируя последовательные аллометрические режимы при постоянных значениях аллометрических коэффициентов. Тогда

u = tBi\n(Ti/Ti_i).

1 = 1

Результаты расчета «удельных производительностей», проведенного Шмальгаузеном (1984), представлены в табл. 3. На основе

Таблица 3

„Удельная производительность" роста животных (по: Шмальгаузен, 1984, с. 23)

Удельная производительность, и

Вид

эмбриональ-

постэмбрио-

ный

нальный

всего

рост

рост

Севрюга

2.2

17.2

19.4

Щука

1.8

15.3

17.1

Курица

9.5

3.8

13.3

Мышь

8.9

2.3

11.2

Крыса

13.7

4.3

18.0

Морская свинка

13.6

2.3

15.9

Свинья

15.7

4.9

20.6

Человек

21.0

3.3

24.3

этого был сделан вывод, что величина «удельной производительности» от 20 до 25 представляет собой максимум того, что может производить единица живой субстанции в дифференцированном организме. В соответствии с выражением (3.54) отношение предельного объема к начальному составляет

VJVQ = е20 — е2Ъ = 108-7 — 1010-9.

Эта оценка является несколько завышенной, так как, строго говоря, доорганизменные стадии эмбрионального развития не являются аллометрическими, и в соответствии с этим включение их в расчет «удельной производительности» в виде соотношения (3.54) неправомочно. «Удельная производительность» как характеристика процесса развития .организма справедлива с начала организмен-ного развития (рис. 27), когда начинается первый аллометриче-ский режим. Наиболее значимо в расчетах Шмальгаузена это повлияло на данные о развитии крупных животных, у которых доорганизменные стадии занимают наибольшее время по сравнению с мелкими животными. У человека органи'зменные стадии начинаются с 19 сут развития (Станек, 1977), в результате пересчет данных в табл. 3 с учетом этого дает «удельную производительность» 13.2. У свиньи начало организменного развития, совпадающее с началом

73

CM !

100 г

10 \

О 'r

2   *

Рис. 28. Критические константы для различных уровней иерархии (точки на рисунке).

Сплошная линия соединяет критические константы для процессов устойчивого типа, а штры-ховая — для процессов неустойчивого типа. По оси абсцисс — номера уровней иерархии, по оси ординат — критические константы.

0.01 \

ю

100 сут

Рис.  27.  Возрастная  динамика  линейных размеров эмбрионов свиньи. По оси абсцисс — возраст, сут; по оси ординат — размер, см. О —начало организменного развития, Р — рождение (по: Biology data book, 1964).

первого аллометрического режима, приходится на 10 сут (Biology data Ьоок, 1964; рис. 28), в результате чего «удельная производительность» также составляет 13.2. Следовательно, значение «удельной производительности» лпя всего развития организма составляет 13—16. Это дает, согласно (3.54), оценку отношения между предельным объемом и начальным

Vjv0 = el3 — el*= 105-6 — 107,

что соответствует критическому отношению 4-го уровня иерархии (см. табл. 2).

Наибольший интерес в истории изучения больших критических отношений представляют степенно-показательные последовательности, введенные Архимедом (цит. по: Архимед, 1962), которые формировались по принципу выражения (3.53) при основании 108

Последовательность (3.53) представляет собой экспоненциальный ряд. Как и для непрерывных процессов, где в определенных точках развитие переходит к аллометрическому в результате действия механизмов влияния памяти на развитие систем, для дискретных механизмов формирования критических точек будут также реализовываться аллометрические соотношения, т. е. можно ожидать появление последовательности критических констант вида

i

74

В соответствии с этой зависимостью, чтобы определить значения критических констант, требуется задать начальные члены ряда. Аллометрия появляется как огибающая экспоненциальных режимов, откуда за начальное значение возьмем критическое соотношение для процесса экспоненциального типа. Кроме того, должно выполняться критическое соотношение для процесса аллометрического типа, что позволяет определить величину показателя степени в последней зависимости. Тогда при N0 = e, Ni—ee, получим а = е, откуда

В результате 3-й член последовательности составит (ее)е = ее- = 1618.173 . . .

Эту величину («сорок сороков») считали предельно большим числом (40X40= 1600) (Кузьмин, Гракин, 1986).

В данном случае оказывается, что последовательности экспоненциального и аллометрического типов для определения критических чисел своими первыми членами (е и ее) совпадают, а далее зависимость экспоненциального типа дает существенно большие значения.

Рассмотренные здесь процессы определяют сжатие временного масштаба, что характерно для падающих относительных приростов. Это приводит к рссту критических соотношений при переходе на более высокие иерархические уровни.

В противоположность этому на участках, где относительные приросты возрастают, временной масштаб растягивается, в связи с чем тенденция изменения критических констант при изменении иерархических уровней формируется иначе. Масштаб здесь меняется от линейного к экспоненциальному, значит, критические константы формируются функцией, обратной экспоненте, т. е. логарифмом. Отсюда

или s

Nk_x=exp(-Nk),   £ = 0, -1, -2, -3 ...

В общем случае для процессов, происходящих как со сжатием, так и с расширением масштаба, запишем общее уравнение, характеризующее последовательность критических констант

Nm==exp[(sign/2)W|A|-i],   & = 0, ±1, ±2...

с начальными условиями: Л/0=0 для процессов устойчивого типа и Nc = exp (1.29) (см. 3.25) для процессов неустойчивого типа. Значения критических констант для процессов устойчивого и неустойчивого типов приведены в табл. 4. Некоторые из них известны и широко используются. Так, критическая константа (—2)-го уровня (e~]) является обратной величиной для соответствующей кон-

75

Критические константы для различных уровней иерархии

Таблица 4

Уровень, k

Устойчивый тип

Ни

1/N

-1

Неустойчивый тип

— оо

-6

-5 -4 -3 -2 -I

О

1

2

3

0.5671 0.5454 0.6062 0.5005 0.6922 1/е 1

0 1

1.7632 1.8335 1.6495 1.9981 1.4447

е

1

оо

1

1/е \/ее

\/еее

0.5671 0.5566 0.5860 0.5345 0.6265 0.4677 0.7600 0.2744 1.3158 3.7276 41.5792 1420- 1018

1.7632

1.7967

1.7066

1.8710

1.5963

2.1383

1.3158

3.6442

0.7600

0.2683

0.0241

0.0000

станты 2-го уровня. О ее значимости и проявлениях мы говорили ранее.

На (—3)-м уровне иерархии представлена величина (1/е)[/е, значение которой близко к широко используемому в теории пропорций V2 = 1-414 (Рыбаков, 1984). Гегель (цит. по: Гегель, 1970) в философской диссертации «Об орбитах планет» предлагал за начало отсчета последовательности орбит брать $3= 1.442 . . . (значение, которое очень близко к (1/е)1/е).

Критическое соотношение (—4)-го уровня характеризует изменение масштаба вдвое, что соответствует октаве как основе музыкальной шкалы. Процессы, происходящие с удвоением периода, рассматривает Фейгенбаум (Feigenbaum, 1980), считая, что «удвоение периода — это характерная черта перехода системы от простого периодического к сложному непериодическому движению». Он приводит большое количество примеров, когда реализуется такой механизм развития.

На рис. 29 приведена зависимость критических констант для различных уровней иерархии, из которой видно, что для уровней ниже, чем (—3)-й, константы для процессов устойчивого и неустойчивого типов практически совпадают и стремятся к одному пределу. По мере приближения слева к нулевому уровню растет амплитуда колебаний значений, а при переходе в область положительных номеров уровней иерархии наблюдается резкий рост критических констант.

В Древней Греции существовал гномон «золотого сечения» (Михайлов, 1967), деливший октаву в золотой пропорции. Рубежи гномона в соответствии с критическими константами табл. 4 для про-

76

—*1

Рис. 29 Структура синхронизации равномерных и неравномерных критических рубежей 2-го уровня. р        р ИА

цессов устойчивого типа приведены в табл. 5, откуда видно первые шесть критических констант имеют в гномоне аналоги/

Таблица 5 Сопоставление гномона „золотого сечения" и критических констант

Уровень критической константы, к

Критическая константа,

Гномон „золотого сечения"

— 1

1

1

1,274 = \Ге

1.128

—2 

1.272

—3

1.445

1.435

—4

1.649

1.618

—5

1.834

1.825

-6

1.998

2.058

Приближенное значение асимптотической критической констан-J_ (0.5671... = 1/1.76325...) реализовано в теории пропорций как 3= 1.7320 ... (Рыбаков, 1984).

3.5. Синхронизация критических рубежей различных уровней иерархии

В предыдущем разделе мы рассмотрели иерархию критических соотношений для процессов, происходящих на различных иерархических уровнях. Можно ожидать, что сила критического явления будет существенно увеличиваться в тех случаях, когда несколько критических рубежей различных уровней иерархии оказываются синхронизированными.

Начнем с установления условий синхронизации процессов, происходящих на 1-м и 2-м уровнях. 1-й уровень характеризуется тем, что задает равномерные такты ритмов развития. Это, например, интервалы времени между последовательными делениями клеток, являющиеся метрономом развития клеточных популяций, последовательность равномерных циклов внешней среды, определяющих развитие процессов в биосфере, геосфере и т. п. Равномерные такты

77

аргумента (времени) задают цепную реакцию развития, характеризуемую экспоненциальным процессом. Последовательные значения критических величин аргумента для процесса экспоненциального типа, как будет показано в разделе 6, определяются выражением (3.48). 3 случае если аргументом является возраст системы, значение характеризует критический возраст (рубеж).

Определим условия, при которых в некоторые моменты времени, определяемые соотношением (3.48), внутри диапазона между этими моментами окажется целое число рубежей процесса 1-го уровня — равномерных интервалов времени. Пусть tk — возраст границы, соответствующей одному из неравномерно чередующихся рубежей и при этом до предыдущего критического рубежа tk-\ укладывается ровно п равномерных рубежей длительностью Тк. В соответствии с соотношением (3.48) это условие запишется в виде

h-tk_l = (l-l/e)tk = nTk. (3.55)

Пусть один цикл длительностью Тк находится до рубежа tk-\> т. е. при значении возраста рубежа

h-\ — Tk

и будет приходиться на критический рубеж £a>_y, где (k—у)—номер неравномерно чередующегося критического рубежа. Тогда

h-\ — Tk = (n— 1)7V

В этом случае

tkle-tklev = {n-\)Tk. (3.56)

Из (3.55) и (3.56) получим систему уравнений

М*— 1) = епТк, tk(ey-l-l) = e4(n-\)Tk. (3.57)

Отсюда следует

е— 1 е        п

или

*Y-1_ 1        еУ     п- 1

п    = еУ~1 (е - 1) п-\~   е^1-\

=    gv-i(e-l) n = (e-\)/{e-2 + e-y+l)

и

lim п = (е— \)/(е - 2) & 2.39.

Y-><»

Значит, возможные варианты целочисленных значений п соответствуют только п — 2 или п—\. Определим значение 7, обеспе

Тогда

чивающее целочисленное значение п. По смыслу введенных уравнений и является целым числом. При у = 2 получаем

п = {е — \)1{е — 2 + е~х) ^ 1.58,

тогда как 7 = 3 соответствует

п = (е — \)/{е - 2 + е~2) ^ 2.01. (3.58)

Дальнейшее увеличение 7 до оо не приводит к появлению нового целочисленного значения п. Следовательно 7 = 3 есть единственное значение 7, удовлетворяющее поставленным условиям, тогда п = 2.

Синхронизация через т критических рубежей приводит к выражению

tk = [nl{\-e-m)]Tk.

В зависимости от т множитель, характеризующий отношение возраста рубежа (tk) к длительности равномерного промежутка времени (Tk),

tJnTk,

представлен в табл. 6.

Таблица 6 Отношение возраста критического рубежа (tk) к длительности равномерного промежутка времени (Tk) в зависимости от диапазона синхронизации (т)

т

1

2

з

00

tk/nTk

1.58

1.15

1.05

1

Из результатов, приведенных в табл. 6, следует, что имеет смысл рассмотрение положения синхронизированных рубежей для П — 1 (разобранный выше случай синхронизации соседних рубежей) и fi = 2 (синхронизация через один рубеж), так как все последующие соотношения соответствуют положению рубежей, определенных длительностью цикла Тк в связи с тем, что

lim tk = nTk.

m-> 00

Следовательно, полный набор критических рубежей синхронизации процессов 1-го и 2-го уровней задается следующими выражениями. При rn= 1 основные синхронизированные рубежи до (k — — 3)-го порядка находятся по формуле

tk = [2/(1 - е-1)] Tk = [2е/(е - 1)] 7\; (3.59)

79

промежуточные несинхронизованные рубежи, определяемые промежутком времени Tk, по формуле

tk-Tk = {[1/( 1 - е'1)] — \}Tk = \{е + Ще - 1)] Тк.

При m = 2 соответственно

tk = ln/(l-e-2)}Tk = [neW-l))Tk.

Легко показать, что возможность синхронизации с более дальними рубежами в данном случае отсутствует. Отсюда наиболее интересным для рассмотрения является случай m = 1, так как здесь синхронизированными оказываются одновременно три неравномерных критических рубежа с равномерными рубежами. Значит, если известна длительность равномерно расположенных рубежей Тк, то положение соответствующих критических рубежей при введенных условиях синхронизации может быть определено. При зтом оказывается, что между двумя последовательными неравномерными критическими рубежами укладывается два равномерных диапазона, а перед ними еще один диапазон (рис. 29), синхронизированный с рубежом tk-ъ- Положение критических границ представлено в табл. 7.

Таблица 7

Положение критических рубежей для синхронизированного диапазона процессов 1-го и 2-го уровней

Рубеж

Обозначение рубежа

Зависимость для вычисления возраста рубежа

Основной, к

^ = 3.16 тк

Промежуточный, к

tk-Tk = 2.\% Tk

Основной, к — 1

tk-2 Г, = 1.16 Tk

Основной, к — 3

'fc-3

tk-3 rfe = 0.16 Tk

Из соотношений (3.48) и (3.59) следует

Tk = eTk_b (3.60)

т. е. длительности равномерных рубежей представляют собой геометрическую прогрессию с модулем е. При этом отношение возрастов синхронизированных неравномерных рубежей и отношение длительностей равномерных рубежей совпадают:

ikltk-\ = TtJTk_x = e.

Таким образом, общий диапазон, в котором происходит синхронизация равномерных рубежей с неравномерными устойчивого экспоненциального типа, не выходит за отношение возрастов рубежей в еъ =20.085... раз.

80

В связи с тем что в синхронизированный диапазон равномерно расположенных рубежей входят характеристики процессов равномерной шкалы до (k — 3)-го порядка, можно ожидать проявление между критическими неравномерными (/*)-м и (/*_i)-m рубежами границ равномерных рубежей по крайней мере (k— 1)-го порядка. В соответствии с выражением (3.55) границы равномерно расположенных рубежей связаны зависимостью (3.52). Тогда между (/#)-й и -й границами неравномерного диапазона равномерно

чередующиеся (Тк-\)-е рубежи зададут последовательность соотношений

tk-

= 4.16Г,_1

= 1.53ГЬ

. = 5.16^.,

. = 1.907-*,

+ зг,_,

, = 6.16^.,

= 2.27Г6)

tk-l

1 = 7.16ГЛ_,

, = 2.637-,,

, + 5Г,_:

, = 8.16ГА_,

, = 3.007',.

Как показано в разделах 3.2 и 3.3, для аллометрического развития, т. е. для процесса 3-го уровня иерархии, характерны критические соотношения (3.33) и (3.42), определяющие диапазон для пары процессов устойчивого и неустойчивого типов соотношения возрастов в двух последовательных критических точках, равный 19.943... (3.43). В результате пара аллометрических режимов устойчивого и неустойчивого типов оказывается практически синхронизированной с диапазоном синхронизации процессов 1-го и 2-го уровней. При этом выражение (3.33) для процесса устойчивого аллометрического типа, равное ее, задает устойчивый участок развития, а промежуток от ее до конца диапазона синхронизации, определяемый соотношением (3.41) для аллометрического процесса неустойчивого типа, определяет фазу перестройки системы.

Оценим величину доли фазы перестройки в полном диапазоне синхронизации:

(е3-ее)/е3 = 0.246.

Таким образом, большой цикл синхронизации можно представить состоящим из аллометрической фазы, занимающей 3/4 его длительности, и фазы перестройки, длительность которой составляет 1/4 часть длительности цикла. Вычислим положение фазы перестройки в последовательности неравномерных критических рубежей:

tk - 0.246 (tk) = 0.754 • 3.16Г* = 2.387V

И наконец, учтем здесь же синхронизацию с критическим диапазоном пары процессов экспоненциального устойчивого и неустойчивого типов. Для этого воспользуемся критическими соотношениями (3.48) и (3.49) и их призведением (3.50), которое составляет практическую половину синхронизированного диапазона, равного 9.905. Оценим положение границы пары экспоненциальных

6   А. В  Жирмунский, В   И. Кузьмин

8!

процессов в синхронизированном диапазоне:

(е3 - 9.905)/*3 = 0.507.

Тогда в последовательности неравномерных рубежей этого диапазона получим

tk - 0.507 (tk) = 0.493 - 3.16ГЛ = 1.567V

Таким образом, в диапазоне синхронизации представлены неравномерные рубежи процессов: устойчивого экспоненциального, устойчивого и неустойчивого экспоненциального, устойчивого и неустойчивого аллометрического, рубежи, формирующие фазу перестройки, а также представлена последовательность равномерных рубежей k-то и (k—1)-го порядков. Совокупность этих рубежей приведена в табл. 8.

Таблица 8

Положение рубежей звена развития

Рубеж

Возраст в длительностях цнк та, Т^

Рубеж

Возраст в длительностях цикла, Г^

Основной, к — 1

1.16

Равномерный, к — 1

2.27

Неустойчивый экспонен-

1.56

Перестройки

2.38

циальный

Равномерный, к — 1

2.63

Равномерный, к — 1

1.53

1 Равномерный, к — 1

3.00

Равномерный, к — 1

1.90

Основной, к

3.16

Равномерный, к

2Л6

1

Указанная совокупность рубежей была названа нами (Жирмунский, Кузьмин, 1982) ячейкой развития. В настоящей работе будет применяться более адекватный термин — звено развития. Для проведения расчетов положения границ звена в реальном процессе требуется знать длительность любого равномерного цикла Тк либо иметь данные о положении некоторого хорошо изученного критического рубежа. Во втором случае возможны сложности, связанные с положением начала отсчета в датировке.

В основе звена развития оказывается двадцатиричная система счисления (е3 = 20.085), существовавшая у народов многих стран, которая обосновывается в настоящее время количеством пальцев на руках и ногах человека (Юшкевич, 1970). Отметим также, что соотношение длительностей рубежей &-го и (к — 3)-го порядков составляет

7к\Тк_ъ = е\

Равномерных рубежей порядка k в звене развития три, поэтому общее количество равномерных рубежей (к — 3)-го порядка составляет е3-3 = 60.2. Эта величина представляет собой шестидесятиричную систему, которая широко используется как система счисления

82

(60-летние циклы восточных календарей, час из 60 мин, минута из 60 с).

В экспериментальных данных часто встречаются результаты синхронизации критических констант 2-го и 3-го уровней иерархии [е и е-'). Далее мы встретимся с примерами таких синхронизации. В их основе лежит соотношение

еп = (е1)т

или

п/т Л    е

е    9* е ,

где п и т — «подходящие дроби»6 для е (Хинчин, 1961). Для числа е подходящие дроби представлены последовательностью 2/1, 3/1, 8/3, 11/4, 19/7, 39/106... Большое распространение находят именно эти подходящие дроби, так как далее они представлены большими числами. Отсюда в последовательностях критических точек в развитии систем можно ожидать более сильные критические явления в окрестности значений

е8 ~ ee*   еи « ее\   еи « ее\

Синхронизация критических рубежей различных иерархических уровней, механизмы взаимодействия между уровнями в синхронных критических точках представляют интерес для самостоятельных детальных исследований. Обратим еще внимание на связь рубежей звена развития с постоянной Фейгенбаума (Feigenbaum> 1980), которая определяется соотношением

6 = Z^1"""/"   = 4.6692016 ...,

где кп — значение параметра, при котором период удваивается л-й раз. Будем считать два основных рубежа звена развития ег и е2 критическими параметрами. Найдем положение такой точки из набора критических величин, для которой справедливо соотношение

(e3-e2)/(e2-b) = b.

Гешая это квадратное уравнение относительно 6, получим его корни: b\=e, b2 = e (е— 1) =4.670774... Последняя величина очень мало отличается от постоянной Фейгенбаума: относительная

6 Подходящей дробью называется число или функция, возникающая при обрыве непрерывной дроби. Непрерывной дробью (Мат. энцикл. словарь, 1988) называется выражение вида:

ап + . •.'

где #0 -— любое целое число (не обязательно положительное), аи а2, ап — натуральные числа.

ДоН--y

а\ +

а2 + ...

б*

83

разница составляет 0.000337. Можно ожидать, что в процессах развития существуют и другие константы, определяемые по положению критических точек не мультипликативными способами.

Приведенные результаты позволяют с единых методических позиций рассмотреть процессы развития с учетом особенностей формирования характеристик систем на ряде последовательных уровней иерархии. При этом значения критических констант, получаемые путем исследования диапазонов стабильного развития, воспроизводятся в характеристиках систем, связанных с включением новых уровней иерархии. Отсюда появляется возможность классификации критических явлений в процессах развития по уровням их значимости и уровням иерархии. Идентификации этих результатов по данным о развитии ряда природных систем посвящены приводимые ниже разделы.

4. КРИТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ

В предыдущем разделе мы получили иерархию критических констант и на ее основе — звено развития. Все дальнейшие результаты связаны с анализом проявлений этих критических констант как во взаимодействии (например, в звене развития), так и по отдельности. Основные свойства систем связывают с их временными и пространственными характеристиками и структурой. Именно поэтому мы посвятили отдельные разделы каждой из этих характеристик. При рассмотрении критических уровней временных характеристик систем возникает основной вопрос — о том, существуют ли единые ритмы, формирующие системы различных структурных уровней. Для ответа на него надо знать закономерности формирования природных ритмов и с их использованием рассмотреть данные о развитии систем различных структурных уровней.

Анализ длительностей ритмов галактических процессов показал, что они формируют последовательность, представленную геометрической прогрессией с модулем е. Далее по иерархии Солнечная система имеет последовательность периодов обращения планет, определяемую равномерным периодом вращения Солнца вокруг своей оси, через ячейку развития (кроме Земли и Нептуна). Синхронизации движений Земли и Луны, а также Солнца и Луны, представленные луннным и солнечно-лунным календарями, основаны на критическом числе е.

4.1. Синхронизированные рубежи природных процессов

В разделе 3.5 получены соотношения, характеризующие последовательность рубежей, представленную синхронизированными рубежами экспоненциального типа е и е3, повторениями звеньев в рамках арифметических прогрессий, а также критическими уровнями аллометрического типа. Общая структура типового элемента периодизации представлена в табл. 7.

Огибающая последовательных экспоненциальных режимов развития при падающих темпах на длительных интервалах времени имеет аллометрический характер. Будем рассматривать экспериментальные данные в двойных логарифмических координатах, что

85

MM

Рис. 30. Изменения ширины годоеых колец на поперечном срезе японского кипариса за первые 200 лет его роста.

По оси абсцисс — возраст; по оси ординат — годовые приросты (по: Аракава, 1975).

обеспечивает линейный характер аллометрической зависимости. Тогда в диапазоне, где имеет место аллометрическая кривая, будет проявляться отношение между последовательными критическими возрастами (рубежами), равное ее, а затем до рубежа синхронизации экспоненциальных рубежей (*3) будет иметь место фаза перестройки.

Биологические рубежи. Рассмотрим данные об изменении ширины колец тысячелетнего японского кипариса за первые 200 лет его роста (Аракава, 1975). На рис. 30 виден ряд последовательных звеньев изменения ширины годовых колец, для которых нижняя граница является аллометрической кривой до 160-го года роста. Далее наблюдается переходный процесс в области, расположенной ниже аллометрической зависимости, после чего происходит быстрый рост, характеризующий начало нового звена развития. Таким образом, все звено развития состоит из колебаний над аллометрической кривой (назовем этот участок аллометрической фазой) и снижения величин приростов до точки минимума (фаза перестройки).

Из приведенных на рис. 30 данных следует, что окончание звена приходится на 195-й год, так как масштаб отсчитывается от начала развития кипариса. Будем считать, что этот рубеж соответствует рубежу синхронизации е3. Тогда расчетная длительность фазы перестройки составит в соответствии с разделом 3.5.

195(e3~0/e3 = 48 (лет).

Значит, последовательные рубежи будут приходиться на 195 — 48= = 147 лет и далее с таким же циклом на 99, 51 и 3 года соответственно, тогда как по результатам измерений наименьшие приросты отмечаются в 99, 39 и 7-й годы развития. Рассмотренный пример является в определенном смысле уникальным по объему ин

86

формации о развивающейся системе. Обычно результаты развития биологических систем представлены более скромными данными.

Гнездилова и др. (1976) приводят данные о изменении объемов яйцеклеток в овогенезе морских ежей Strongylocentrotus nudus (рис. 2). Развитие яйцеклетки начинается в сентябре и в данном случае полный период синхронизации составляет 5,8 месяцев. Отсюда длительность фазы перестройки должна быть порядка

5.8-(е3-ее)/е3 = 1.4 (мес).

Значит, конец аллометрического развития должен приходиться на

5.8- 1.4 = 4.4 (мес),

что соответствует фактическим данным. Предыдущие рубежи: 3, 1.6, 0.2 мес. Из них точка при возрасте 3 мес находится на алло-метрической кривой, которая должна быть огибающей минимальных значений.

В работе Гнездиловой и др. (1976) отмечено, что звено развития складывается из 3 последовательных экспоненциальных участков и 1 цикла перестройки, по длительности соответствующего режиму экспоненциального роста.

В работе с Васецким (Васецкий и др., 1981) мы рассмотрели данные об эмбриональном развитии беспозвоночных и низших позвоночных, для которых оно изучено как качественно (морфология), так и количественно (продолжительность стадий). Был проведен анализ количественных данных о стадиях устойчивого аллометрического развития зародышей животных и соотношениях возрастов, при которых достигаются критические уровни. Критическими возрастами мы считали такие, при достижении которых принципиально меняются параметры аллометрического развития, т. е. постоянные А и В в уравнении (2.3). Поскольку проводился анализ стадий аллометрического развития, экспериментальные данные рассматривались в двойных логарифмических координатах. Рассматривалась зависимость возрастов окончания последовательных стадий развития в функции от их номера. Номера стадий при этом отражают сходный уровень развития, что позволяет использовать их для определения аллометрических зависимостей.

Стадию вылупления считали критической и в соответствии с соотношением ее по возрасту начала этой стадии определяли значение промежуточного критического возраста, при котором может происходить принципиальное изменение характера развития, и значение исходного возраста, или нижнюю критическую границу.

Интересно, что критические границы аллометрического развития совпадают с начальными стадиями развития, периодом завершения дробления и стадией вылупления. В эмбриологической литературе принято считать, что критический период в индивидуальном развитии — это начало гаструляции. Однако проведенный нами анализ дает основания полагать, что для холоднокровных животных более важен период бластуляции. Это подтверждается и данными биохимических исследований эмбриогенеза, согласно которым

87

4      8 10    20    U0    80100 200  Ш 500 млн лет

Рис. 31. Изменения площадей, занятых морскими отложениями в фанерозое на территории СССР.

По оси абсцисс — время; по оси ординат— площади. Шкала на осях логарифмическая. / — Альпийский, // —Герцинский, 111 — Каледонский циклы горообразования. Наклонная кривая — тенденция развития одной из аллометрическнх фаз (/). Точки, обведенные кружками, обозначают переход от одного цикла развития к другому. Показана смена периодов аллометрического развития {АР) на периоды перестроек (//) (по: Карогодин, 1975).

именно период бластуляции характеризуется началом функционирования собственно генома зародыша и резким возрастанием ма-кромолекулярных синтезов. Повышенная естественная смертность зародышей в начале гаструляции может говорить о том, что этот период — критический для выявления уже имеющихся (заложенных ранее) дефектов. В таком случае период бластуляции может быть тем самым критическим периодом развития.

Количественный анализ стадий эмбрионального развития рассмотренных видов позволил выявить два отрезка аллометрического развития. Каждый из этих отрезков ограничен по длительности соотношением между моментами наступления критических стадий, определяемым величиной, равной ее. Таким образом, существование критических периодов в развитии этих животных можно рассматривать как частный случай общих ограничений на пределы использования модели аллометрического развития. Детальное изложение этих результатов содержится также в нашей книге (Жирмунский, Кузьмин, 1982).

Геологические рубежи.7 Аналогичный характер имеют результаты измерения площадей, занятых морскими отложениями в разное геологическое время на территории СССР (Карогодин, 1975). По колебаниям этих площадей можно судить о циклах трансгрессий и регрессий (рис. 31), которых на рисунке видно три. В табл. 9 приведены времена начала и конца, а также длительности фаз. Каждый цикл (звено развития) состоит из аллометрической фазы (тенденция, соответствующая   миноризующей — огибающей мини-

Данный раздел является результатом совместных исследований с академиком Б. С. Соколовым и членом-корреспондентом АН СССР В. Д. Наливкиным (Жирмунский и др., 1980).

88

Таблица 9

Фазы циклов трансгрессий и регрессий

Абсолютное время, млн лет

Фаза

Длительность, млн лет

11

165

Аллометрическая

155

210 360

Перестройки

45 

Аллометрическая

150

390 520

Перестройки

30 

Аллометрическая

130

560

Перестройки

40

мумы — зависимости) и фазы перестройки (участок спада). После фазы перестройки следует другая аллометрическая фаза нового звена, которая заканчивается фазой перестройки. Переход от одного звена к другому происходит на стадии максимальной регрессии. Если конец звена в каждом случае взять за начало отсчета следующего звена, то получим зависимости, представленные на рис. 32, откуда видно, что характеристики звеньев повторяются. По данным, приведенным в табл. 9, фазы перестройки занимают 21, 17 и 24 % общей длительности цикла, что соответствует теоретической оценке доли фазы перестройки в полном времени синхронизированного диапазона развития процесса.

Для геологических процессов положение некоторых рубежей определено с высоким уровнем достоверности, их можно расклассифицировать по относительной значимости в геологической истории Земли. Многие исследователи отмечают, что геологическая история распадается на этапы сравнительно спокойного развития и разделяющие их этапы более активных тектонических движений и складчатостей. Последние принимаются за рубежи между геотектоническими циклами. Эти рубежи выделяются на фоне общей направленности развития земной коры, выражающейся в существенном снижении степени метаморфизма, что наиболее отчетливо видно при сравнении пород архейских, байкальских и кайнозойских геосинклиналей; в уменьшении проявления гранитизации, а также в уменьшении площади, занимаемой геосинклиналями на континентах (Ронов, 1976).

По-видимому, за крупнейшие рубежи в геологической истории можно принять рубежи, разделяющие -основные стадии развития земной коры. Белоусов (1975) выделяет 3 таких стадии: пермо-бильную, неустойчивую протогеосинклинальную и устойчивую геосинклинально-платформенную. Первая, примерно отвечающая

89

или км

г

200 300

Рис. 32. Совмещение циклов развития земной коры (/, //, ///), представленных на рис. 31.

Обозначения см. на рис. 31.

архею, характеризуется повсеместным развитием геосинклинального режима. Она закончилась 2.8—3 млрд лет назад. Вторая, совпадающая с ранним и средним протерозоем, отличается появлением неустойчивых платформ типа срединных массивов и линейных геосинклиналей. Она закончилась 1.6—1.7 млрд лет назад. Третья стадия характеризуется появлением устойчивых платформ. Ее можно разделить на две. Первую предварительно можно назвать геосинклинально-платформенной, во время которой в пределах платформ продолжали закладываться эвгеосинклинали и были широко распространены авлакогены. Она соответствует позднему протерозою. Во вторую устойчивую геосинклинально-платформенную стадию в пределах древних платформ эвгеосинклинали уже перестали закладываться, а авлакогены получили подчиненное распространение. С этого времени платформы стали занимать больше половины площади континентов. Губеж между этими стадиями на древних платформах располагается примерно на уровне 570 млн лет. Он совпадает с рубежом между авлакогенным и плитным этапами, выделяемыми Хаиным (1973).

Все эти 4 стадии заканчивались эпохами складчатости, гранитизации и крупными тектоническими перестройками. Они примерно соответствуют саамско-белозерской, сфекофено-карельской и байкальской складчатостям. Известно, что эпохи тектонической активизации и складчатостей занимают сравнительно длительные отрезки времени. В качестве условных, более коротких отресков времени для докембрия мы брали периоды максимального проявления гранитизации, отвечающие в основном заключительным стадиям складкообразования.

Время окончания рассмотренных выше стадий различалось для разных континентов. Белоусов (1978) указывает, что на южных

90

материках неустойчивая протогеосинклинальная стадия закончилась позже — около 0.6 млрд лет назад. На эпигерцинских плитах мобильная геосинклиналььо-платформенная стадия закончилась не к началу палеозоя, а в конце триаса — начале юры. Однако окончание стадий всегда бывает приурочено к какому-либо рубежу в геологической истории. Для первого примера — это байкальская складчатость, а для второго — окончание герцинской складчатости. Важно также отметить, что смена характера и интенсивности проявления тектонических процессов от стадии к стадии соответствует общей направленности развития земной коры — общему успокоению тектонической активности.

В промежутках между крупнейшими рубежами геологической истории, разделяющими стадии развития земной коры, выделяется целая система менее значимых рубежей. Число наиболее крупных из них в пределах каждой стадии обычно равно 2—3. В пермо-бильной стадии иногда выделяется рубеж на уровне 4 млрд лет. Более четким и общепринятым служит рубеж, имеющий возраст 3.5—3.6 млрд лет. С ним связывается первая значительная эпоха гранитизации (табл. 10).

Таблица  10

Крупнейшие и крупные рубежи геологической истории

Стадия развития земной коры *

Граница между стадиями, млн. лет

Рубеж внутри стадий (крупный), млн. лет

Устойчивая геосинклинально-платформенная

Мобильная геосинклинально-платформенная

Неустойчивая протогеосинклинальная

Пермобильная

570-600 1600—1800 2800-3000

200

400 680—700

1000 2000-2200 2500—2600 3500-3600

4000

* Возраст Земли около 4500 млн. лет.

В пределах неустойчивой протогеосинклинальной стадии отчетливым является рубеж на уровне 2.5—2.6 млрд лет. К нему приурочено широкое внедрение гранитных интрузий. Общепринят и рубеж в 1.9—2.1 млрд лет. Мобильная геосинклинально-платформенная стадия включает 2 четких рубежа, сопровождающихся процессами гранитизации: на уровне 1 млрд лет и 0.7—0.68 млрд лет. Менее четким является рубеж на 1.35 млрд лет, указанный в Стратиграфической шкале докембрия СССр. На устойчивой геосинклинально-платформенной стадии, соответствующей фанерозою, подобными рубежами можно считать тектонические перестройки и максимальные регрессии на платформах, а также завершающий орогенез в каледонских и герцинских геосинклиналях, которые соответственно отвечают временам 400 и 270—200 млн лет.

91

Рис. 33. Изменение площадей, занятых морями, для СССР (1) и континентов мира (2), содержания Сорг в осадочных породах (3) и числа семейств морских беспозвоночных (4) в фанерозое.

По оси абсцисс, для / и 2—площади, занятые морями, %; для 3 — содержание Сорг; для 4 — число семейств (по: / — Карогодин, 1980; J?, 3 — Ронов, 1976; 4 — Valentine, 1973).

Промежутки времени, разделяющие перечисленные рубежи, сокращаются от архейских и раннепротерозойских к фанерозойским от 400—500 млн лет до 180—200 млн лет. Это сокращение еще нельзя считать строго доказанным, так как возможно, что некоторые рубежи пропущены из-за недостаточной степени изученности ранних стадий развития земной коры. Однако намечается и сокращение промежутков времени между крупнейшими рубежами, разделяющими стадии развития земной коры, что повышает вероятность подобного вывода. В пределах фанерозоя указанные рубежи совпадают с эпохами максимальных регрессий моря на континентах. Эти регрессии однозначно выделяются по кривым изменения площади, занятой морем (рис. 33). Они же фиксируются в изменении уровня Мирового океана, устанавливаемого путем статистической обработки огромного сейсморазведочного материала (Seismic stratigraphy, 1977; рис. 34,7).

92

Рис. 34. Корреляция геологических событий в фанерозое.

Вертикальные графы: 7 —время, млн лет; стратиграфическая шкала: 2—системы; 3—отделы; 4 — расчетные границы рубежей геологической истории; 5—основные регрессии для СССР (Карогодин, 1980); 6—основные регрессии для континентов мира (Ронов, 1976); 7—циклы изменения уровня моря (по: Seismic stratigraphy, 1977); 8—изменение числа семейств морских беспозвоночных (по: Valentine, 1973); 9 — палеомагнитные рубежи (по: Магнитно-стратиграфическая шкала, 1976); 10—эпохи сжатия, растяжения и успокоения (по: Милановский, 1979). Заштрихованные полосы в графах 4-7 — крупнейшие. рубежи; черные прямоугольники в графе 9 отмечают эпохи частой смены полярности по палеомагнитным данным; длинные горизонтальные линии в графах 4-8, снабженные цифрами (время, млн лет), —крупные рубежи (гиперзоны по палеомагнетизму); более короткие горизонтальные линии в тех же графах —средние ребежн (суперзоиы по палеомагнетизму).

Основные регрессии соответствуют эпохам орогенеза и гранитизации в геосинклиналях, а также инверсиям авлакогенов и ускорению роста структур на платформах. Трансгрессии отвечают эпохам быстрого прогибания геосинклиналей и заложения авлакогенов, проявления основного магматизма на платформах. В сравнительно продолжительные промежутки времени, разделяющие быстрое развитие трансгрессии и регрессии, происходило успокоение тектонических движений и сокращение скорости роста платформенных структур, вплоть до полных остановок.

Милановский (1979) полагает, что эпохи орогенеза, складчатости и инверсий авлакогенов отвечают эпохам общего сжатия, а трансгрессии и прогибания — фазам общего растяжения. К этому нужно добавить, что помимо эпох сжатия и растяжения существуют также эпохи успокоения тектонических движений. Закономерная смена эпох сжатия, растяжения и покоя образует крупные циклы (звенья развития), соответствующие общепринятым циклам тектогенеза (рис. 34, 10). Таким образом, трансгрессии и регрессии служат чувствительным количественным показателем рубежей геологической истории, хорошо увязанным с целым рядом тектонических событий.

Системы более мелких и более часто чередующихся рубежей удается выделить лишь в фанерозое, хотя, судя пс ритмичному строению разрезов рифейских отложений, они проявлялись и раньше. Вообще чем мельче рубежи, тем все на более поздних этапах и\ системы становятся видимыми. Эти мелкие рубежи фиксируются на кривых изменения площади трансгрессий, но еще более ярко — по изменению положения уровня Мирового океана (Seismic stratigraphy, 1977), для которого имеется наиболее обширный однородный количественный материал (рис. 34, 7). В палеозое выделяются этапы длительностью приблизительно в 50—80 и 30—40 млн лет. В мезозое длительность этапов, по-видимому, соответственно сокращается до 30—40 и 10—20 млн лег. В четвертичном периоде выделяются наиболее короткие этапы продолжительностью в десятки тысяч лет. Губежи между ними проводятся главным образом по прлеоклиматическим данным и сменам комплексов фауны, связанным с климатическими изменениями.

Данные по изменению уровня Мирового океана также указывают на увеличение частоты рубежей геологической истории на ее последних этапах. Здесь полезно вспомнить вывод Штилле (1964, с. 391): «Рассматривая ход тектонического развития нашей Земли уже в его ранние периоды, мы противопоставляем сильную концентрацию орогенических проявлений (во время небольшого числа тем самым более мощных орогенезов) все возрастающему в последующем числу орогенических фаз с уменьшением их средней интенсивности, вплоть до полиорогенной стадии новейшего геологического времени».

В процессах развития систем выделяют эволюционный и инволюционный пути развития (Вернадский, 1978). При эволюционном развитии уменьшение частоты рубежей с течением времени проис

94

i ходит от низших уровней иерархии к высшим, а инволюционный

' путь связан с обратной тенденцией. Примером эволюционного пути

развития является рост от зародыша к зрелому организму, а инволюционного— развитие без роста, примером чего является развитие Земли, масса которой фиксирована. Таким образом, инволю-

| ционные системы, в том числе и Земли, должны развиваться с уве-

личением частоты рубежей. Как уже указывалось, имеющиеся довольно скудные данные по геологической истории совпадают с

1 этими выводами. Подобное учащение ритма геологической истории

вместе с потерей информации и размыванием временем событий далекого прошлого заставляет провести сопоставление рубежей геологической истории с расчетными критическими рубежами отдельно для докембрия, палеозоя, мезозоя, неогена и четвертичного

{ периода, соответственно беря все более дробные рубежи.

Палеонтологические рубежи. Анализ палеонтологических данных представляет значительный интерес, так как именно палеонтология принесла науке бесчисленные свидетельства реального действия эволюционного процесса. Вместе с тем она отвергла представление о постепенности, плавности эволюции, доказав неравномер-

1 ность ее темпов (см., например: Грант, 1980; Гулд, 1986).

Соколов (1977) выделил в истории развития органического мира Земли на пути к его фанерозойской дифференциации следующие главнейшие события.

1. Появление в земных условиях простейших эобионтных систем, уже способных к самовоспроизведению в условиях гетеротрофного питания (вероятно, ранее 4.25 млрд лет); возникновение фотосинтезирующих механизмов у прокариотических протобионтов (видимо, независимо в уже параллельно существующих линиях эволюции бактерий и цианофитных), что открыло путь биогенного накопления кислорода первоначально в гидросфере (3.8 млрд лет, цианофиты из серии иссуа в Гренландии).

2. Появление свободного кислорода в атмосфере, немедленно связывавшегося окислительными реакциями, — вероятно, после глянциальных эпох афебия (2.2—2 млрд лет, гренландская микрофлора) и его общее увеличение, видимо подготовившее возникновение древнейших эукариот (1.9—1.6 млрд лет).

3. Появление достоверных эукариот, что значительно повысило роль биоэнергетических механизмов одноклеточных; возникновение их простой колониальности и агрегатности (1.6—1.35 млрд лет).

4. Переход от ферментативного метаболизма (брожение) к кислородному дыханию: достижение точки Пастера (примерно 1 % свободного кислорода от его уровня в современной биосфере), что оказало революционирующее влияние на ход эволюционного процесса и привело к возникновению митоза и мейоза; появление первых Metaphyta, пелагических и бентосных Metazoa, которые известны лишь по следам жизнедеятельности в позднем рифее (1— 0.9 млрд лет).

5. Широкое завоевание многоклеточными животными и растительными организмами морского дна и пелагиали, последовавшее

95