2 Критические уровни в развитии природных систем

2. МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ СИСТЕМ

Изучение природных систем показывает, что они являются многоуровневыми, с многочисленными взаимосвязями между структурными уровнями, элементами каждого уровня между собой и систем с их внешней средой. Насколько сложную систему приходится при этом рассматривать, видно из следующих данных. Организм человека включает иерархию структурных уровней, размеры которых находятся по крайней мере в диапазоне от 1.7 до Ю-9 м (Жирмунский, Кузьмин, 1982). Аналогичный диапазон порядков величин обнаруживается по временным характеристикам длительностей ритмов деятельности организма человека — от 100 лет как продолжительности жизни до ритмов тепловых излучений в диапазоне 8—10 мкм (3-Ю13 Гц; Гуляев, Годик, 1984). При этом весь указанный диапазон заполнен ритмами активности различных систем организма и ритмами взаимодействия этих систем. Эти особенности систем относятся не только к биологическим объектам. Они характерны для любых развивающихся систем. Примерами из биологии мы пользуемся потому, что они дают характеристику наиболее сложных ситуаций и объектов.

Каким образом взаимодействуют между собой настолько разнородные характеристики? Как вырабатываются единые ритмы активности? Как построить модели, которые позволили бы единым образом представить функционирование и взаимодействие этих систем как между собой, так и с внешней средой? Да и вообще существуют ли количественные закономерности в развитии и функционировании настолько сложных систем?

Для ответа на эти вопросы требуется построить модель, которая описывает как эволюционные участки развития, так и скачки,, выделяющие качественно однородные интервалы на различных уровнях иерархии развивающейся системы. Для описания процесса на одном уровне иерархии вводится уравнение, в основе которого лежат представления о .ветвящихся процессах и влиянии предыстории на развитие. В качестве одного из требований к уравнению развития можно предъявить необходимость обобщения им известных моделей, общепринятых при обработке экспериментальных данных (модель Пирсона как обобщение функций плотности распределения математической статистики,гипергеометрическое уравнение как обобщение класса специальных функций в теории коле

баний и т. д.). Модель развития состоит из совокупности уравнений развития, полученных логарифмированием (или потенциониро-ванием) аргумента, что обеспечивает грубость моделей на каждом уровне.

В данном разделе вводится уравнение развития, устанавливаются его взаимосвязи с общепринятыми моделями, рассматриваются преобразования масштабов, определяющие динамику процессов на различных уровнях иерархии.

2.1. Уравнение развития

В основу формирования уравнения развития положим следующие аксиомы: 1) процесс развития лимитируется некоторой характеристикой системы (назовем ее базовой переменной), определяемой ветвящимся процессом (цепной реакцией); 2) процесс развития существенно зависит от его предыстории. Согласно первой из указанных аксиом скорость изменения базовой характеристики пропорциональна ее уровню, что в простейшем случае приводит к экспоненте, а вторая аксиома определяет, что на скорость изменения базовой характеристики влияет ее уровень в прошлом. В этом разделе мы обсудим содержание аксиом, выведем на их основе уравнение развития и проверим его содержательность, рассматривая связи с широкими классами общепринятых моделей.

Рассмотрим основные количественные закономерности развития систем путем анализа динамики их роста. Прежде всего развитие происходит как процесс рождения и гибели. В основе этих процессов лежат цепные механизмы (в химии и ядерной физике такие процессы называются цепными реакциями). При этом рост числа элементов системы и ее размеров определяется процессами деления. Из одной клетки через характерное время ее развития образуются две клетки, каждая из них в свою очередь даст две клетки и т. д. При этом количество участвующих в цепной реакции элементов подчиняется геометрической прогрессии и описывается уравнением экспоненциального роста, в соответствии с которым скорость роста размера системы х пропорциональна ее текущему размеру х

x = kx, (2.1)

где k — константа скорости роста. Интегрируя это уравнение, получим

In х — kt -f In c9   x = лс0ехр kt,

откуда видно, что процесс, подчиняющийся закону экспоненциального роста, линеен в полулогарифмических координатах.

Установлено, что для систем, развитие которых происходит при постоянных внутренних и внешних условиях, экспоненциальная зависимость описывает весь процесс развития. На это обращал внимание  Шмальгаузен (1935) и в качестве примера системы,

29

20Y

0       1Z       2<<       16       '-8       60 мин

Рис. 3. Рост палочковидной бактерии Bacillus megatherium.

По оси абсцисс — возраст, мин; по оси ординат — длина, мкм, шкала логарифмическая (по: Шмаль-гаузен, 1984, т. 2, с. 114).

млн

► II_I_

1800 1850

Рис. 4. Динамика численности населения СШ \ в 1800—1860 гг. По оси абсцисс — годы;   по  оси ординат — численность, млн. человек, шкала логарифмическая (по: Мендельсон, 1959).

растущей при постоянных внутренних условиях, приводил палочковую бактерию Bacillus megaterium. Питание бактерии происходит через поверхность, а площадь поверхности в связи с малой относительной толщиной бактерии пропорциональна ее длине, тогда как питать надо объем, в этих условиях также пропорциональный длине. Значит, питаемый через единицу поверхности объем не меняется в процессе роста палочковой бактерии, в результате чего ее рост оказывается экспоненциальным (рис. 3).

Переменный характер внутренних и внешних условий развития приводит к тому, что при определенных характеристиках системы и среды, в которой она развивается, экспоненциальный рост с постоянным темпом прекращается. Тем не менее режимы экспоненциального роста оказываются в ряде случаев достаточно длительными, чтобы нельзя было не обратить на них внимание. Например, рост численности населения США в течение 60 лет с 1800 по 1860 г. оставался экспоненциальным (рис. 4).

Таким образом, экспоненциальные режимы роста соответствуют не только развитию при постоянных условиях, но и при изменении условий в определенных диапазонах, не превосходящих некоторых критических значений. Определение этих критических значений и представляет, по нашему мнению, одну из основных проблем моделирования развития, так как позволяет установить возможные пределы использования результатов, характеризующих сложившиеся тенденции роста. Броди (Brody, 1927, 1945; цит. по: Мина, Клевезаль, 1976) положил экспоненциальные режимы на отдельных участках роста в основу моделирования развития биологических систем, определяя в каждом случае пределы использования экспоненциальной зависимости по морфофункциональным признакам. Шмальгаузен (1935) отмечал, что процессы роста начинаются экспоненциальной фазой. Однако он полагал, что в дальнейшем экспоненциальный <рост переходит в параболический.

за

6

0.5

OA

lOt

г int

Рис. 5. Рост шарообразной бактерии Micrococcus.

а-динамика роста диаметра, по оси ординат-икм; б-динамика оросительных приростов (сплошная  линия —гипербола^ Bit);

-мкм

........_г_____ _,      в —динамика роста

'в б-м^ут^ых'еХшицах (по: Шмальгаузен, 1984, т. 2, с.

115).

диаметра. По оси  абсцисс — время

Параболический рост появляется тогда, когда константы скорости экспоненциального роста убывают от одного экспоненциального режима к другому так, что их можно аппроксимировать зависимостью, близкой к гиперболе: k{t) — B(t)\ т. е. константа скорости роста здесь оказывается обратно пропорциональной возрасту. Подставляя ее значение в уравнение (2.1), получим

x = (B/t)x, (2.2)

или после интегрирования

\пх = Bint + Inc.

Откуда

x = AtB. (2.3)

Траектория роста в данном случае представляет собой степенную функцию. Примером может служить динамика роста шаровидной бактерии, питание которой происходит с поверхности, а питать нужно весь объем. При этом площадь поверхности S пропорциональна квадрату диаметра d, а объем V пропорционален его кубу. Значив, с единицы поверхности будет питаться объем S/V ~ l/d9 т. е. с ростом питание объема с единицы поверхности убывает, в результате чего происходит снижение скорости роста (рис. 5). Как видно из рис. 5, относительные приросты х/х оказываются гипербо-лической^функцией возраста, в результате чего рост происходит линейно в двойном логарифмическом масштабе (см. рис. 5, в). Это показывает, что в процессах развития систем реализуются механизмы, которые приводят к дискретной' смене темпов   экспоненциального роста в определенные моменты развития. Модель, представленная уравнением (2.1), не содержит информации о том, за

31

счет действия каких факторов это происходит. Отсюда и попытки Броди (Brody, 1945; цит. по: Мина, Клевезаль, 1976) вводить информацию о морфофункциональных преобразованиях в организме как признаке изменения константы скорости экспоненциального роста. Это показывает, что модель экспоненциального роста, описывая процесс развития на отдельных стадиях, не учитывает некоторых значимых для процесса факторов. Что же это за факторы?

Обратим внимание на то, что уравнение (2.1) описывает процесс развития как марковский, т. е. скорость роста определяется только текущим состоянием системы и принципиально не зависит от предыстории. В то же время взаимодействия между элементами системы и ее реакции на внешние влияния принципиально инерционны. Необходимость учета инерционных свойств систем давно обсуждается в литературе. В начале XIII в. Леонардо Фибоначчи из Пизы решал задачу о росте численности кроликов. Кролики дают приплод каждый месяц, а первое потомство через два месяца после рождения. В результате получается последовательность чис-ленностей, определяемая рекуррентным соотношением

xk+\ — xk + xk-u

где Xk — численность кроликов в месяц с номером k. Таким образом, в данном случае необходимо учитывать не только текущее значение численности, но и численность в предыдущем месяце.

Существенность влияния предыстории на развитие систем отмечал еще Пирсон (1911): «Мгновенная передача влияния тела Р, внезапно пришедшего в движение, на удаленное от него тело Q представляется малоправдоподобной; требуется некоторое время для того, чтобы изменение положения Р могло опираться на Q» (с. 637). Вольтерра (1976) при разработке математической теории борьбы за существование учитывал влияние последействия или памяти на текущее состояние системы. Гудвин (1966) при разработке динамической теории внутриклеточных процессов указывал, что «переход от дифференциальных уравнений и интегральных инвариантов к функциональным уравнениям и инвариантным мерам сделал бы теорию значительно более мощной, позволив рассматривать гетерогенные системы вместо гомогенных, а также системы с запаздыванием и гистерезисными эффектами» (с. 32).

В настоящее время направление, связанное с учетом влияния пространственных и временных предыстории на текущее состояние систем, получило настолько существенное развитие, что началась разработка механики сплошных сред, в основу которой положена аксиома о существенном влиянии предыстории на развитие процессов. Предыстории играют важную роль в механике, поскольку будущее определяется именно настоящим и прошлым. В 1958 г. Нол-лом (Трусделл, 1975) была сформулирована аксиоматика, которая привела к формализации механики сплошных сред на новой основе. Первая аксиома, названная принципом детерминизма, говорит о том, что напряженное состояние в конфигурации тела-точки X в момент Т определяется предысторией движения тела вплоть до

32

момента Т. Таким образом, прошлые и настоящая конфигурации тела определяют поле напряжений, действующее на тело в настоящей конфигурации.

Такие же соображения высказываются в определении характера нелинейных эффектов в радиоэлектронике: нелинейность среды может определяться и инерционными свойствами вещества, которые проявляются в конечной, а не в мгновенной скорости изменения параметров среды под действием распространяющегося электромагнитного поля. В результате этого реакция среды на воздействующее поле запаздывает на некоторое конечное время, которое зависит от величины поля.

Учтем в уравнении (2.1) инерционные свойства процесса развития, т. е. в соответствии с аксиомой Нолла будем считать, что скорость роста размера системы пропорциональна размеру в момент времени, смещенный относительно данного (/) на характерное время запаздывания т, т. е.

x(t) = kx(t — %). (2.4)

Чтобы решать такое уравнение, требуется задать начальную функцию, т. е. определить траекторию за период

/€=(/0-Т, /0),     Х(/) = Ф(/).

Более общий случай этого уравнения можно представить, если считать параметры Лит функциями времени

x = k(t)x[t — x(t)] (2.5)

Назовем (2.5) уравнением развития. Рассмотрим его связь с наиболее часто используемыми моделями.

2.2. Взаимосвязь уравнения развития с основными моделями обработки экспериментальных данных

Предпринимая попытку построения модели развития систем для проверки степени ее общности, надо убедиться, что она в качестве частных случаев включает результаты, которые используются в разных областях знаний для обработки экспериментальных данных как универсальные. В принципе таких результатов немного. Это—модели роста, колебаний, теории вероятностей и математической статистики, теории информации, катастроф. При этом модели роста и колебаний ориентированы на описание динамики процессов, модели теории вероятностей и математической статистики анализируют данные статистического разреза, относящиеся к одному моменту времени, и динамику (теория случайных процессов). Мбдели теории информации рассматривают характеристики процессов преобразования и передачи сообщений. Появившаяся недавно теория катастроф занимается изучением фазовых переходов в развитии систем. Рассмотрим последовательно взаимосвязь этих классов моделей с уравнением развития.

3    А. В. Жирмунский, В. И. Кузьмин 33

Выше уже говорилось о том, что в процессах развития систем существенным на отдельных стадиях оказывается экспоненциальный рост. Уравнение (2.4) примечательно тем, что экспоненциальный рост является его частным случаем. Функцию запаздывающего аргумента x(t — т) для получения приближенного оешения этого уравнения при малых т разлагают в ряд Тэйлора с использованием двух первых членов разложения. Большего количества членов в этом случае брать нельзя, чтобы исключить появление колебаний, несвойственных основному исходному процессу (Эльсгольц, Нор-кин, 1971; подробнее см. раздел 7.3),

Очевидно, что при постоянных k и т уравнение (2.7) совпадает с уравнением экспоненциального роста при постоянном относительном приросте (константой скорости роста) (2.1).

Исследованию основных тенденций роста биологических систем посвящено большое количество работ (Huxley, 1932; Шмальгаузен, 1935, 1984; Brody, 1945, цит. по: Мина, Клевезаль, 1976). В работе Медавара (Medawar, 1945) указывается, что о соотношении между размерами и возрастом организма можно сделать лишь одно общее утверждение, выражающееся уравнением

где k(t)—такое положительное число, которое с увеличением / уменьшается, a k(t) стремится к нулю. Кроме этого, отмечается особый частный случай, когда k = const, что соответствует экспоненциальному росту. Из сопоставления уравнения развития (2.5) и модели Медавара (2.8) видно, что они совпадают при отсутствии запаздывания в (2.5), т. е. при т =0.

Шмальгаузен (1935, 1984) положил уравнение типа (2.8) в основу исследований, которые привели его к модели параболического роста. Функция k(t) уравнения (2.8) в этом случае представляет собой удельную скорость роста, т. е. прирост на единицу размера системы за единицу времени. Шмальгаузен анализировал тенденции изменения удельных скоростей роста в функции возраста развивающейся системы, на основе чего по экспериментальным данным установил, что падение этой величины обратно пропорционально возрасту, т. е. k(t) =k/t. Такой метод построения модели роста представляется перспективным, так как позволяет на основе анализа динамики удельных скоростей роста определять вид функции k(t)y а затем непосредственным интегрированием уравнения (2.8) получать кривую роста. Таким образом, уравнение Медавара (2.8) является частным случаем уравнения развития (2.5).

При исследовании траекторий динамических систем в аналитической механике вводят понятие потенциальной функции

V(t — T) = x(t) — xx(t). Подставляя (2.6) в (2.4), получим

x(t) = [k/(l+kT))x(t).

(2.6)

(2.7)

X = k (t) ху

(2.8)

V = V(xu x2l       xn\

34

которой определяют уравнения процесса в виде

x = grad V (х),

(2.9)

где х — характеристика состояния системы. Направление градиента функции определяется направлением наибыстрейшего ее возрастания. Это является отражением экстремальных принципов в физике. В то же время большое количество исследований посвящено изучению физиологических градиентов как основных факторов в регулировании и развитии организмов (Child, 1929; Гурвич, 1977). Экспериментально установлены градиенты в характеристиках обмена по продольной оси на ранних стадиях развития позвоночных животных. Эти градиенты направляют рост и являются выражением явлений, интегрирующих организм как целое.

Предположим, что система развивается в анизотропном поле. Неравномерность распределения поля в пространстве создает градиент. Будем считать, что развитие происходит в направлении градиента поля. Тогда уравнение процесса запишется в виде (2.9). По сути характер grad V(x) определяется памятью или нелокальными свойствами системы (влиянием соседних элементов на данный, т. е. пространственной памятью). В принципе проблема моделирования состоит в построении типовых функций, характеризующих grad V(x).

Наличие поля и его градиента в соответствии с определенным для данного процесса видом зависимости grad V(x) приводит к возможности моделирования перехода количественных изменений в коренные качественные. Именно так реализуются в настоящее время результаты теории катастроф (Постон, Стюарт, 1980; Гилмор, 1984). Термин «теория катастроф» был возрожден после Кювье в связи с исследованиями проблем структурной устойчивости и их приложений для классификации типов скачкообразных переходов в развивающихся системах. Основоположник современной теории катастроф Том (1970) указывал, что в основе его теории лежат два источника. Первый из них — топологические и аналитические исследования по проблеме структурной устойчивости. При этом для заданной функции F(x) выясняется, сохраняет ли возмущенная функция G = F + bF ту же, качественно аналогичную исходной форму. Второй источник — работы по эмбриологии, где процесс развития разбивается на области структурной устойчивости и детерминизма, которые ограничены зонами, где процесс индетерминирован, структурно неустойчив. Аналогичные особенности процессов наблюдаются в геометрической оптике, гидродинамике, газовой динамике (Постон, Стюарт, 1980). Это дает основания полагать, что теория, связанная с исследованиями общих свойств структурной устойчивости моделей, имеет универсальный характер.

В теории катастроф рассматриваются процессы, описываемые уравнением (2.9). Том (1970) показал, .что для динамических систем, ттравые части дифференциальных уравнений которых описываются гладкими функциями и в которых на практике наблюдаются  скачки в выходных характеристиках, можно геометрически

3*

85

определить траектории происходящих изменений. Количество типов таких скачков, называемых элементарными катастрофами, зависит от числа параметров системы. В теории катастроф рассматривается система, в которой потенциальная функция зависит от совокупности параметров Сь ..., Ck. Предполагается, что при каждом значении С = (Сь ..., Ck) система описывается гладкой функцией Vc-В зависимости от параметров системы положения ее равновесия могут меняться. Сами параметры системы С могут претерпевать медленные изменения. При этом система всегда находится в состоянии равновесия — точке минимума функции Vc- Если в связи с изменением параметров С текущее положение равновесия исчезает, система переходит в одно из других положений равновесия. Основной результат, полученный Томом (1970), представлен теоремой: «Для систем, описываемых гладкими функциями, содержащими не более 4 параметров при любом числе переменных, в принципе существует только 7 возможных типов локальных геометрических структур для устойчивых множеств катастроф».

Сильной стороной теории катастроф является их классификация по реальным процессам в сопоставлении с различными видами gradV(#). Слабость теории катастроф — в использовании модели марковского типа. Ведь катастрофа, как правило, и появляется в результате взаимодействия с другими уровнями иерархии, соседними элементами и системами, характеристиками внутренних процессов развития. Именно взаимодействие с другими элементами, влияние предыстории развития, изменения внешней среды, которые в свою очередь влияют на нижние уровни иерархии, приводят к изменению характера развития, скачку, катастрофе. В связи с этим может оказаться, что большое количество параметров модели есть следствие факторов, не учитываемых непосредственно, но существенных для характеристик процесса. Отсюда возникает соображение о том, что более содержательными для моделирования катастроф будут модели немарковского типа.

В уравнении (2.9) величина скорости изменения характеристики состояния системы в линейном приближении может быть оценена отношением

[X(f)-X(t-T))/X,

т. е. приростом размера за единицу времени характерной длительности процесса т. Или, в более общем случае, скорость изменения размера пропорциональна изменению размера за характерное время запаздывания

x = B[x(t)-x(t-%)]. (2.10)

Первый член здесь характеризует влияние механизмов, обеспечивающих рост размеров, а второй — отмирание. Величина градиента функции в этом случае связана с противоборством двух основных тенденций, одна из которых определяет объединение элементов и их воспроизводство — процессы ассимиляции, а вторая — процессы

36

разъединения элементов, распада и отмирания — процессы диссимиляции.

Заменой переменной вида

$ = xexp(-Bt) уравнение (2.10) приводится к виду

I = - В ехр (- Вт) I ({ - т). (2.11)

При

— Вехр(— Bx) = k{t)

уравнение (2,11) эквивалентно уравнению развития (2.5). Таким образом, представление градиента потенциальной функции через функцию отклоняющегося аргумента приводит к уравнению (2.10), эквивалентному уравнению развития (2.5) с точностью до преобразования координат. Отсюда можно ожидать, что уравнение развития (2.5) содержит результаты, которые получаются в теории катастроф.

Уравнение (2.11) интересно тем, что представляет собой обобщенный вариант модели Пирсона, интегралы которой являются функциями плотности распределения, наиболее часто используемыми в теории вероятностей и математической статистике для обработки экспериментальных данных. Уравнение Пирсона имеет вид (Крамер, 1975)

a + bt—x. (2.12)

a2t2 + a\t + До

В качестве решений уравнения Пирсона в зависимости от параметров уравнения (2.12) получаются нормальное, экспоненциальное распределения, распределение Пуассона и т. д. В принципе уравнение Пирсона (2.12) конкретизирует вид функции k(t) уравнения Медавара (2.8).

Покажем, что уравнение Пирсона (2.12) является частным случаем уравнения с отклоняющимся аргументом (2.11). При малых % разложение правой части уравнения (2.11) в ряд Тэйлора с использованием двух первых членов (как указывалось выше, большее число членов разложения брать нельзя, чтобы не получить не свойственных процессу колебаний) дает соотношение

б(*_т) = б(*)-4(0.

Откуда после подстановки в (2.11) получим

feW      1 - Вт ехр (- Вт) SV>'

Разложим в линейном приближении экспоненты в правой части этого уравнения

i /л —   -В(1-Вт) . (А _   -В + ВН  t (fy — 1 - Вт (1 - Вт) bW — i_ Вт + В«т» ь№

37

При т — At получим

ЪКП— j _BAtJrB2A2t2 SV)-

Отметим, что уравнение (2.11) при малых запаздываниях в линейном приближении при т = At совпадает с уравнением Пирсона (2.12). Уравнение (2.11) представляет собой модель процесса рождения и гибели как следствие уравнения (2.10). Функции плотности распределения теории вероятностей представляют собой, как правило, унимодальные кривые, что характеризует противоборство двух тенденций — возрастающей и убывающей.

Уравнение Пирсона (2.12) является обобщенной моделью семейства функций плотностей распределения математической статистики. При этом параметры уравнения развития (2.5) и как его частного случая (2.11), являющегося обобщением уравнения Пирсона, могут быть физически интерпретированы как характеристики памяти системы, тогда как параметры уравнения Пирсона (2.12) являются эмпирическими коэффициентами. Универсальность применения методов математической статистики при обработке экспериментальных данных позволяет предполагать, что свойства уравнения развития (2.5) как обобщения уравнения Пирсона также будут описывать универсальные характеристики систем различной природы.

Показать взаимосвязь функций плотности распределения и уравнения развития можно и другим способом. В соответствии с эргодической теоремой средние по времени и по фазовому пространству равны между собой. Таким образом, статический разрез данных содержит информацию о динамических характеристиках системы, так же как и временной ряд — о структуре статических данных, характеризующих совокупность объектов. Аналитическое выражение этих взаимосвязей можно проследить, рассматривая динамическую модель процесса достаточно общего вида:

{amDm + am_xDm~x + ... + а0) х(t) + + (bpDp + bp„xDp~{ + ... + b0) x (t- т) = 0,

где at (i = 0, 1, 2, ..., m), 6/ (/ = 0, 1, 2, ..., p) —постоянные коэффициенты, т — постоянное запаздывание, D=dfdt — оператор дифференцирования.

Если искать решения этого уравнения в экспоненциальной форме

x — x0exp(zt), (2.13)

то характеристическое уравнение запишется так:

R(г) = amzm + am_xzm~{ + ... + а0 + + {bpzp + bp_{zp~l +Т~+Ь0)ехр(~2т) = 0.        (2.14)

38

Это уравнение не содержит переменной времени и характеризует только соотношение между параметрами рассматриваемого объекта, которые могут быть определены из анализа данных для группы объектов в фиксированный момент времени. В связи с этим характеристическое уравнение (2.14) можно рассматривать как некоторую функцию плотности распределения математической статистики. Такие функции используются при обработке экспериментальных данных, относящихся к определенному моменту времени. Покажем, что основные, практически используемые функции плотности вероятности являются частными случаями характеристического уравнения (2.14), которое в свою очередь в качестве частного случая содержит уравнение развития (2.5).

При нахождении решений уравнения (2.14) часто пользуются оценкой весов различных членов, входящих в его состав. Выбрав члены с наибольшим весом, определяют характер решения. При этом оказывается, что при различных диапазонах переменных и параметров преобладающими являются различные члены. Так, при z ^> О уравнение (2.14) принимает вид

R (г) = amzm + bpzp ехр (- zx) (2.15)

и в случае одного доминирующего члена в ряду функций текущего значения времени и одного в ряду функций отклоняющегося аргумента получим

R (г) = am^zm-1 + V/2P~' ехР (- *т)- (2.16)

Для ограниченного диапазона изменения параметров системы развитие лимитируется определенным механизмом, что и находит отражение в существенно большем абсолютном влиянии малого количества членов уравнения общего вида. Изменение системы лимитирующих факторов приводит к изменению набора лимитирующих параметров, составляющих уравнения. В данном случае поиск диапазонов, в которых качество системы не меняется, позволяет использовать такое допущение, которое часто применяется на практике для получения решений дифференциальных уравнений.

Структура характеристических уравнений (2.15) и (2.16) одна и та же, поэтому ограничимся исследованием первого из них. При т — р = v > 0 имеем уравнение запаздывающего типа и при р — т = \х > 0 — уравнение опережающего типа. Для 1-го случая

ат + bpz~v ехр (- zx) = 0, (2.17)

а для 2-го —

В случае р = т (здесь получается дифференциальное уравнение нейтрального типа) уравнение (2.15) перепишется в виде

zm [am + &Pexp(- zt)] = 0,

и удаленные от начала координат корни могут быть приближенно определены из уравнения

ат + ЬРехр(— 2г) = 0.

39

Заметим, что основные законы распределения, используемые в математической статистике, определяются характеристическим уравнением (2.14) для г >0 при конкретных значениях входящих в него параметров и в определенном диапазоне изменения переменных, соответствующих соотношению (2.17) (см. табл. 1).

Таблица 1

Параметры уравнения (2Л7) и соответствующие им функции плотности вероятности

Параметры уравнения

Функция плотности

Закон

ЬР

р — т

T

вероятности

распределения

1

0

z

1         rvn (       «2/0^24

нормальное

о^2л 

2a2

exp ^    г /ха ; 

т

0

T

т exp (— zx)

экспонента

l/kl

k

1

^~ехр (-Я)

Пуассона

1

k-1

1

г*-1 exp (— z/c)

гамма

ck(k— 1)! 

с

(k-\)\ck 

fc/c

k- 1

±zk-iexp(-zklc)

Вейбулла

I/O2

1

z

2~-exp(-22/2a2)

Релея

1

k — 2

Va

zk~2 exp (-2/2)

хи-квадрат

2kf2T (k/2)

2 

2*/2Г (k/2) 

Примечание, k, о, с —параметры соответствующих распределений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение с характеристическим уравнением (2.17)

xw{t) = -{bp/am)xiP)(t-x). Откуда с учетом (2.13) найдем

zm exp (zt) = — (bp/am) zp exp (zt) exp (— zx). (2.18)

Поделив обе части уравнения (2.18) на zm~\ получим

г еХр (zt) = - (bp/am) zp"m+1 exp [z (t - т)] и снова, учитывая (2.17), найдем

x(t) = -(bp/am)zp-m+ix(t-x).

Это уравнение соответствует характеристическому уравнению (2.17). Из него следует

Ьр/ат = — exp(zr)/zp~m.

40

Тогда уравнение x(t) перепишется в виде

х = z ехр (гт) х (/ — т).

Обозначив г ехр(гт) = k(t)> получим снова уравнение развития (2.5).

Таким образом, функции плотности распределения, наиболее часто используемые при обработке экспериментальных данных, определяются характеристическим уравнением для уравнения развития (2.5) при конкретных значениях параметров. При этом параметры функций плотности распределения могут быть интерпретированы в терминах запаздываний и характеристик скорости роста соответствующего процесса. Известно, что в теории колебаний введен класс специальных функций, связанных с наиболее часто используемыми моделями колебательных процессов (функции Бесселя, Ле-жандра и т. д.), которые определяются как частные случаи следующего гипергеометрического уравнения (Уиттекер, Ватсон, 1963)

(a2t2 + a{t + а0) х + (at + b) х + сх = О

при определенных значениях параметров. При (at-{-b)=£ О перепишем гипергеометрическое уравнение в виде

<*+»[*1-"+¥,+«*]—с*.

Здесь в квадратных скобках стоит выражение, которое представляет собой два первых члена разложения функции отклоняющегося аргумента в ряд Тэйлора. Как уже отмечалось, такое разложение используется при малых отклонениях аргумента для нахождения приближенных решений уравнений с отклоняющимся аргументом (Эльсгольц, Норкин, 1971), Тогда обобщенный вариант гипергеометрического уравнения имеет вид

*('+"" :,у°ь-^тт""-

Обозначим

Ы2 + а^ + а0)/(а1 + Ь) = т(!).

Сместим аргумент в этом уравнении слева и справа на т(/). В результате получим уравнение развития (2.5). Таким образом, класс процессов, описываемых специальными функциями, также включается как частный случай в уравнение развития.

Рассмотрим взаимосвязь между уравнением развития (2.5) и мерой количества информации, введенной Шенноном (1963). В качестве меры количества информации, создаваемой марковским процессом, Шеннон ввел энтропию множества вероятностей рь р2, ... ..., рл:

п

Н = — Z    log ph

1 = 1

■ ■i гпр погАрнфчн берутся при произвольном основании. Эта мера •^Лыла»*ифгучена в результате реализации следующих требований:

\ 41

1. Я непрерывна относительно р,-.

2. При р\ = р2 = •.. = Рп— 1/n Я является монотонно возрастающей функцией от я. Для равновероятных событий неопределенность больше, чем для разновероятных.

3. Если выбор распадается на два последовательных выбора, то первоначальная Я должна быть взвешенной суммой индивидуальных значений Я.

Единственная функция, удовлетворяющая этим требованиям, есть энтропия. Эта функция играет центральную роль з теории информации в качестве меры количества информации, возможности выбора и неопределенности. Вид этой зависимости такой же, как и соотношение для энтропии в статистической физике, где р/— вероятность того, что система находится в *-й ячейке фазового пространства.

Для непрерывного распределения с функцией плотности р(х) энтропия определяется как

dH ,

-ar=-plogp,

откуда

-f оо

Я=— ^ р(х) log p(x)dx.

— оо

В связи с тем, что основание логарифма является произвольным (оно определяет величину единицы количества информации), используем далее натуральные логарифмы, т. е. скорость изменения энтропии по аргументу х запишем в виде

dH .

ЧТ=-р\пр.

Рассмотрим связь этой меры с характеристиками динамики непрерывного процесса с энтропией Я. Перепишем последнее соотно-

шение в виде

( 1    dH \      1

Пусть k — обратная величина характерного времени процесса с энтропией Я. Умножим правую и левую части последнего соотношения на k\

7=*-»(г4г)- е-«о

Обозначим к/p — z. Тогда l/p = z/k и уравнение (2.19) перепишется в виде

Обозначим

1    dH

т~ = т-

42

Отсюда

z — kexp(zj).

(2.20)

Это уравнение является характеристическим для линейного дифференциального уравнения вида

х = — kx (/ — т)

или

х = kx (t + т),

что соответствует уравнению развития (2.5) или его частному виду (2.4). Таким образом, энтропия является характеристическим уравнением для уравнения развития в его частной форме. Из этого же следует одновременно, что скорость изменения энтропии по аргументу х пропорциональна величине отклонения аргумента т (характерному запаздыванию или опережению в характеристиках процесса).

Эшби (1962), анализируя хмеханизмы приспособления ультраустойчивых систем, отметил, что при возникновении опасности для системы оптимальная продолжительность пробы по изменению собственных параметров для адаптации соответствует времени, необходимому, чтобы информация от ступенчатых механизмов, побуждающих систему к данной пробе, дошла до существенных переменных, сигнализирующих о результате. Таким образом, определяющая роль в формировании упорядоченности сообщения принадлежит его нелокальным свойствам.

Уравнение (2.20) как характеристическое для уравнения развития в качестве частных случаев при различных значениях параметров содержит, с одной стороны, основные функции плотности распределения математической статистики, а с другой — энтропию как меру количества информации. Этим определяется органическая связь энтропии как величины, пропорциональной запаздыванию, с основными законами распределения. Известно (Шеннон, 1963), что экстремум энтропии при ограниченных моментах (математическом ожидании, дисперсии и т. д.) приводит к экстремалям, которые выражаются законами распределения математической статистики. Таким образом, через выражение для энтропии происходит выход на законы распределения математической статистики как через вариационный принцип, так и непосредственно через свойства энтропии как характеристического уравнения для уравнения развития (2.5).

Величина энтропии служит мерой неопределенности. Неопределенность задается величиной времени запаздывания, которое и определяет, в течение какого времени система, получившая входное воздействие, не реализует его результатов в выходных характеристиках. Например, после принятия управленческого решения и начала его реализации результат проявляется только через время цикла функционирования системы. В промежутке имеет место неопределенность. Мера неопределенности отражает длительность времени реакции системы на действующий входной сигнал, т. е. есть время запаздывания.

_

Рассмотренные результаты показывают, что уравнение развития (2.5) в качестве частных случаев содержит основные результаты моделей роста, математической статистики, теории колебания, теории информации. Его содержание соответствует моделям, используемым в теории к а т а с т р о ф. Такая степень общности стала возможной только в результате использования при построении уравнения развития двух основных аксиом: процессы развития идут как ветвящиеся в соответствии с цепным механизмом и для процесса развития существенно влияние его предыстории.

2.3. Иерархия процессов развития

Как уже отмечалось, процессы развития начинаются экспоненциальной фазой, т. е. процессом расширенного воспроизводства, для которого справедливо уравнение (2.4), или на участке постоянства относительных приростов уравнения (2.1). На длительных интервалах времени развитие происходит с падением темпов, что приводит к модели, представленной уравнением (2.2). Эта модель, получившая название аллометрической, или модели неравномерного роста, соответствует уменьшению относительных приростов со временем и приводит к выравниванию данных в двойном логарифмическом масштабе. Введем новую переменную

Tx = lnt. (2.21)

Тогда уравнение аллометрического роста преобразуется к виду (2.1), т. е.

dx       и

"357 = *«х-

При этом временной масштаб отсчитывается в логарифмических значениях абсолютного возраста системы t в соответствии с соотношением (2.21). Логарифмические шкалы находят применение, например в биологии при определении возраста живых систем.

Процессы, для которых размер системы меняется в соответствии с аллометрической моделью, перекрывают существенно более длительные интервалы развития по сравнению с экспоненциальными участками. Однако так же, как и в случае экспоненциальных моделей, диапазон их действия ограничен. На рис. 6 показано изменение массы лещей с возрастом в двойном логарифмическом масштабе. На кривой видны три характерных участка, первый из которых завершается созреванием, а второй — наступлением старости. Оба этих момента в развитии связаны с изменением регуляторных и функциональных характеристик организма, в связи с чем являются критическими точками.

Будем считать, что огибающая аллометрических режимов формирует следующий структурный уровень иерархии в развитии си-

44

Рис. 6. Динамика массы леща в пост- Рис. 7. То же, что на рис. 6, но мас-эмбриональном развитии. штаб по оси абсцисс — двойной лога-

По   оси абсцисс — возраст,   годы;   по  оси     рифмическии. ординат — масса, г. шкалы по осям—логарифмические (по: Шмальгаузен, 1984).

стем так же, как аллометрический режим агрегирует последовательность экспоненциальных режимов. Предыдущие уровни иерархии представлены уравнениями (2.1) и (2.2). Если формирование нового уровня иерархии считать происходящим так же, как и для предыдущих иерархических уровней, то уравнение процесса здесь будет иметь вид

(2.22)

dx _ k%

dTx — Т{

ИЛИ

d In х _ d In x _   dlnx   _ ,

dT2  — d In Ti ~~ d In In t        ъ

где

Отсюда

пГ, = In In Л

(2.23)

d In x       k2

dint      \nt

dlnx        k

2

dt        tint

В соответствии с полученным соотношением (2.23) кривая изменения размера системы в этом случае должна быть линейной в координатах 1пдг— lnln/, что и выполняется при перестроении кривой, приведенной на рис. 6 в указанных координатах (см. рис. 7). В рассмотренном примере модель (2.23)' воспроизводит кривую изменения массы леща от рождения до конца жизни. Отметим, что стадии экспоненциального роста могут характеризовать в этом

45

случае процессы, происходящие на нижнем уровне иерархии. Алло-метрическая модель как огибающая последовательных экспоненциальных стадий характеризует процесс развития организма от рождения до естественной гибели.

Таким образом, последовательность моделей (2.1), (2.2), (2.23) образуется путем введения последовательности зависимостей величин относительных приростов от времени (значения аргумента). При этом модель (2.1) соответствует постоянным относительным приростам, в модели (2.2) относительные приросты падают обратно пропорционально аргументу, а в модели (2.23) в знаменателе величины относительного прироста стоит логарифм степенно-цоказа-тельной функции аргумента (такая же функция определяет энтропию в статистической физике и теории информации).

Обобщая результаты для огибающей последовательности зависимостей, представленных моделью (2.23), получим

d \п х _ &з '

dT2     77'

Тогда

d In х   _    къ -

d In In / ~~ In In *

И

d In x    _ ,

d In In In /       3

ИЛИ

d In x__kb_

dt    ~~ f (In 0 (In In 0 '

Для системы уровня N получим

d in x k

N

dt        /(In/) (In In/) ... (In ... In/) '

В качестве сквозного примера рассмотрим рост массы печени у куриного эмбриона. На рис. 8 приведены данные о динамике роста в логарифмическом, двойном логарифмическом и в масштабе In х— In In /.

Из приведенных данных видно, что смены экспоненциальных режимов характеризуются критическими точками. Группы стадий экспоненциального развития с падающими темпами агрегируются аллометрическими зависимостями. Точки, в которых наблюдаются изломы аллометрии, отмечают моменты развития, когда происходят более значимые по сравнению с экспоненциальными изломами преобразования характеристик развивающейся системы. В свою очередь последовательность аллометрических зависимостей также имеет свою огибающую, начало и конец которой характеризуют полный цикл развития на более высоком по сравнению с алломет-рией уровне иерархии.

46

Urn. а 6 ^6

V   в  12 16 t   1.0      1.0      2.6 bit    0.2     0.6 lulTit

Рис. 8. Рост массы куриного эмбриона.

По оси абсцисс: а —время, сут; б —In, сут; в—In In, сут; по оси ординат — масса, In, мг (по Шмальгаузен, 1984, т. 1, с. 34).

Рассмотрим механизм предпочтительного использования в иерархии масштабов времени, получающихся последовательным логарифмированием масштаба предыдущего уровня. Для этого воспользуемся концепцией грубости системы как такого ее свойства, которое обеспечивает малое изменение траектории при изменении правой части дифференциальных уровней, описывающих процесс (Андронов, Понтрягин, 1937; Андронов и др., 1967; Баутин, Леон-тович, 1976).

Начнем с рассмотрения экспоненциального роста к = kx. Будем деформировать правую часть этого уравнения, считая, что параметр воспроизводства k убывает обратно пропорционально степенной функции возраста

x = (kxft*)x.

При а=0 последнее уравнение совпадает с экспоненциальной моделью. При изменении а в пределах 0 ^ а << 1 интегрирование дает

In jc = [fe,/(l — о)] /(1~а) + Inc.

Для (1 — а) > О набор траекторий представлен возрастающими значениями х с ростом t. При а = 1 модель становится аллометри-ческой и описывается функцией другого класса

\пх = k{\nt + Inc.

При 1 < а траектории x = f(t) становятся убывающими функциями времени. Значение а = 1 отделяет траектории с различной динамикой процесса. Отсюда можно ожидать, что изменение 0 ^ ^ а < 1 сохраняет информацию о положении критических точек.

47

При а= 1 появляется новая область грубости. Замена переменной в этой области 0 = In t делает аллометрическую модель экспоненциальной, в связи с чем ситуация будет повторяться и изменение параметра а приведет к новой особенности, когда масштаб станет двойным логарифмическим относительно исходного аргумента (или логарифмическим относительно нового In Э = In In t) и т. д.

Таким образом, весь период развития разбит на стадии. Переход от стадии к стадии происходит скачком, характеристики которого фиксируются в изменении скорости экспоненциального роста либо показателя степени в уравнении аллометрии. Точки смены параметров роста являются критическими, так как в них происходят морфофункциональные перестройки, изменение качественных характеристик развивающейся системы. Критические точки упорядочены по иерархической значимости, которая повышается для процесса развития по мере роста соотношений диапазона возраста и размеров между последовательными критическими точками, т. е. с ростом уровня иерархии в ряду: экспонента, аллометрия, огибающая аллометрии и т. д.

Распространенность экспоненты — факт хорошо известный, так как она реализует закон сложных процентов (или роста процентов на проценты). Процессы аллометрического типа представлены в научной литературе тоже очень полно. Как уже отмечалось, Шмальгаузен (1935) применил для моделирования процессов роста степенную функцию, назвав ее моделью параболического роста. Он же установил дискретные изменения параметра аллометрии и связал их с принципиальными изменениями в развитии организма (рис. 1). Розен (1969) отмечает, что существует большое разнообразие функционалов, заданных на самых различных множествах объектов как органической, так и неорганической природы, значения которых связаны уравнением вида (2.3). Выражаемую этим уравнением закономерность, систематическое изучение которой на примере живых организмов было осуществлено Гексли (Huxley, 1932), называют законом гетерогении, или законом неравномерного (аллометрического) роста. Это единственный вид явной зависимости между функционалами, относящимися к биологическим объектам, который был подвергнут систематическому изучению.

Под термином «аллометрическое развитие» мы будем понимать класс функционалов, описывающих соотношение между двумя характеристиками процесса, описываемого степенной функцией, вне зависимости от того, каков конкретный смысл аргумента. Использование принятого Шмальгаузеном (1935) термина «параболический рост» здесь невозможно, так как рассматривается общий случай, когда показатель степени может быть не только положительным. Кроме этого, получаемые результаты относятся к общим свойствам процессов, модель которых описывается степенной функцией, в результате чего они могут представить интерес не только для анализа динамики развития во времени, но и для решения задач, в которых аргумент принципиально не временной. Для аллометриче-ских зависимостей вопрос о том, как определить, какая из двух

48

переменных является функцией, а какая аргументом, всегда является проблемой.

В последнее время вновь, вслед за Берталанфи (Bertalanffy, 1952, 1968), обращается внимание на принципиальную общность моделей аллометрического типа для процессов различной природы. Показательными в этом смысле являются статьи Севежо (Sava-geau, 1979), одна из которых («Аллометрический морфогенез сложных систем: Вывод основных уравнений из первых принципов») напечатана под рубриками: «Организменная и популяционная биология», «Социальные системы», «Экономика и организация». Автор с удивлением отмечает, насколько большой ряд явлений описывается этим простым уравнением: соотношение характеристик у основных групп животных и высших растений, данные по морфологии, фармакологии, биохимии, цитологии, эволюции, этиологии ряда заболеваний.

Длительное время аллометрия рассматривалась как эмпирический закон, однако появилось большое количество работ, где делаются попытки ее теоретического обоснования. Прежде всего это результаты, связанные с теорией подобия и размерности (Седов, 1977). Степенная функция замечательна тем, что при ее использовании отношение значений двух производных величин не зависит от масштаба основных единиц измерения. В связи с этим безразмерные критериальные зависимости в теории размерности используют это соотношение как основное.

Исследования в теории ветвящихся случайных процессов привели к выводу закона Ципфа (Zipf, 1949), который считают одним из основных эмпирических законов современного науковедения. Рассматривается набор N элементов, каждый из которых помечен меткой из некоторого множества. Число различных меток п (х, Ат), каждая из которых встречается ровно х раз в выборке из N элементов, при достаточно большом N равно

п(Х) N) = A/xv,

где А — константа, определяемая объемом выборки, у — показатель закона Ципфа. Этот закон носит имена Ципфа, Лотки, Ман-дельброта, Парето — в зависимости от области применения (Яблонский, 1978). Закон Ципфа, как и нормальный закон, является устойчивым (композиция устойчивых распределений дает распределение того же вида).

Гозен (1969) выводил уравнение аллометрического роста из принципа оптимальности, анализируя класс функционалов, для которых минималь типа уравнения Эйлера дает степенную функцию. Севежо (Savageau, 1979) предложил выводить аллометрию из дифференциального уравнения вида

Xi = а^?1 — а2л;12,

считая, что на данном аллометрическом этапе величина х\ лимитирует развитие системы.

4    А   В. Жирмунский, В   И. Кузьмин 49

CM

0.1 -

• • ••• •

0.01 -

1 10 100 cym

Рис. 9. Динамика .-/«ь^яых размеров эмбриона человека. О —начало организменного развития, Р —рождение. По оси абсцисс — возраст эмбриона от зачатия, сут; по оси ординат —размер, см. Обе шкалы логарифмические (по данным. Biology data book, 1964).

7     10        Н        18        22 cym

Рис. 10. Динамика длины эмбриола человека на ранних стадиях развития.

По оси абсцисс — возраст, сут; по оси ординат — In In—~е (по   данным: Biology  data  book,

Xi

1964).

В принципе относительные приросты могут не только падать, но и возрастать. Как видно из рис. 9, с 7 до 19 сут (на стадии га-струлы) развитие эмбрионов человека идет с ростом темпов. Подобного рода участки кривых роста можно зафиксировать и для других видов, в частности на стадии гаструлы аналогично идет развитие у эмбрионов крысы и свиньи (по данным: Biology data book, 1964). Увеличение относительных приростов зафиксировано также в процессах интенсивного роста численностей популяций и является основой для определения пределов их роста (Бейли, 1970; Уатт, 1971).

Можно ожидать, что для таких стадий развитие происходит с растяжением масштаба в отличие от рассмотренных выше механизмов сжатия масштаба. Сохранение приведенной выше последовательности требует, чтобы линеаризация характеристик роста при растущих темпах происходила в масштабе \п\п(х/с) —t для начального уровня развития In In ln(x/c)— t для следующего за ним и т. д. Тогда на начальном уровне для эволюционного участка развитие будет описываться уравнением вида

dx/dt = k{ exp (kt) x

или после интегрирования

In х = (ki/k) exp (kt) + In c,

50

откуда

ln(x/c) = (k]/k)exp(kt)

или

\n\n(x/c) = kt + \n(kjk).

Можно сказать, что здесь в отличие от рассмотренного выше случая падающих относительных приростов со сжатием времени при переходе с одного уровня иерархии на другой, более высокий, происходит такое же сжатие, только по ординате (размеру системы). Время при этом растягивается по сравнению с линейным. Для того чтобы начальная точка процесса такого типа находилась по ординате в начале координат, анализировать данные нужно в масштабе

\n\n[(x/xQ)e] — l, что обеспечит в начальной точке (х = х0)

In In е = 0.

Данные о росте длины эмбриона человека (рис. 9), перестроенные в этих координатах, приведены на рис. 10, откуда видно, что действительно с 9 до 19 сут реализуется рост в соответствии с рассматриваемой моделью.

Типичным примером роста с увеличивающимися темпами является динамика народонаселения с середины XVII в. практически по настоящее время (рис. 11). С 1950—1960 гг. эта тенденция изменилась, как видно из данных, приведенных на рис. 12. При этом в течение 300 лет до 50—60-х годов нашего века рост численности населения в Европе и Азии происходит по близким зависимостям как между собой, так и с динамикой мирового населения. С 50—60-х годов нашего века ситуация меняется: наблюдается резкая тенденция к стабилизации численности населения европейских стран на фоне ускорения численности мирового населения. Смена тенденции развития происходит при достижении ординатой значения, близкого к единице.

Пронумеруем уровни иерархии процессов с растущими темпами отрицательными числами, считая, что переход через нулевой уровень меняет тенденцию изменения значения аргумента процесса развития. Тогда получим по уровням иерархии последовательность координат, приведенную на рис. 13, а—в.

Отметим, что в теории надежности, методах планирования экспериментов, кинетике роста биологических систем встречается вид зависимости, типа приведенной на рис. 11. Так, в теории надежности используется двойной показательный закон с функцией распределения вида

F (х) = ехр [— ехр (— \х)].

Этот закон применяется в задачах резервирования и аналогичных им, в частности при схеме накапливающихся повреждений в большом количестве элементов (Кордонский, 1963). В теории планиро-

4*

51

1000

1500

2000

Рис. 11. Динамика численности мирового населения.

По оси абсцисс — годы, по оси ординат — In численности населения (по данным: Урла-нис, 1978).

_оАэоос

8/

7

1650    1750    1850     1950 2000

Рис. 12. Динамика численности населения.

Кружки—Европа, кружки с крестиками — Азия, крестики-мировое население. По оси абсцисс —

годы, по оси ординат— In In ("~jt") (по данным:

Урланис, 1978).

вания экспериментов введена преобразующая функция (Адлер и др., 1976)

d = 1 — exp [— exp (— х)],

которую считают предпочтительной в связи с ее более высокой чувствительностью в средней зоне по сравнению с зонами, близкими

Рис 13 Иерархия координат процессов с растущими темпами.

(е')Ь

52

к 0 и 1. Так проявляется интерес к использованию ее как самостоятельного основания логарифмической шкалы.

Набор приведенных выше шкал структурирует информацию о развитии природных систем с выявлением эволюционных диапазонов и критических точек, соответствующих каждому структурному уровню. Таким образом, полная система аксиом, формирующая модель развития природных систем, определяет лимитирование развития ветвящимся процессом, зависимость хода развития от предыстории и взаимодействие между последовательными иерархическими уровнями, реализуемое логарифмированием и потенцированием аргумента в натуральном логарифмическом масштабе. Эта модель приводит к возможности количественно определить критические уровни развития систем этого класса. Разберем далее, как определять значения критических точек для каждого из уровней иерархии и как они взаимодействуют между собой.

3. МОДЕЛЬ КРИТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ РАЗВИТИЯ СИСТЕМ

В данном разделе на основе анализа свойств уравнения развития найдены критические константы, которые при переходе к модели развития формируют иерархию критических констант, определяющих диапазоны сохранения качества системы на различных уровнях иерархии. В основе этой иерархии лежат степенно-показательные функции числа Непера (е):

...(l/efe\ 1/е, 1, 0, 1, е, ее, е<° ...

Условия синхронизации критических рубежей определяют ячейку развития. В последующих разделах анализ обширного материала о развитии природных систем показывает, что иерархия критических констант и их синхронизации выявляют значимую информацию о закономерностях формирования временных и пространственных ритмов, а также структуры природных систем различных уровней иерархии.

3.1. Некоторые свойства уравнения развития

Можно ли на основе уравнения развития определить перестройки, критические точки, выделяемые по морфофункциональным признакам или по результатам изменения фазового состояния? Можно ли, имея модель развития, определить момент, когда в системе произойдут качественные преобразования? И более того, как, зная положение одной критической точки, определить положение других критических точек с учетом уровней их значимости?

Для ответа на эти вопросы рассмотрим свойства решений уравнения развития в его частной форме (2.4), а затем перейдем к обобщениям, т. е. исследуем уравнение

x = kx(t — T) (3.1)

при k > О, т > 0. Будем искать решение этого уравнения в виде (2.13), где z = и + iv.

Отсюда характеристическое уравнение имеет вид

z exp (zt) = k exp [z (t — %)]

54

или

z = kexp(-zx). (3.2)

По формуле Эйлера

ехр (— ivx) = cos (vx) — i sin (vx).

Тогда

и + iv = kехр (— ат) [cos {vx) — i sin (vx)]. Разделяя действительную и мнимую части, получим

и = k ехр (— их) cos (от), (3.3)

и = — k ехр (—- их) sin (от). (3.4)

Для процессов роста без колебаний о = 0, и траектория роста имеет вид, представленный на рис. 14. При v Ф О и и < 0 реализуется режим колебаний с экспоненциально убывающей амплитудой (рис. 15). а при v ФО и и > 0 (такие корни называют псевдоположительными) колебания имеют экспоненциально возрастающую амплитуду (рис. 16). Для процесса роста без колебаний из (3.3) получим

и = k ехр (— их). (3.5)

Графическое решение этого уравнения показано на рис. 17. Решение здесь получается единственное и определяется вличиной kx. Отсюда при v ■= 0 существует единственный экспоненциальный режим роста (и „> 0):

х = х0 exp(ut).

Если v ф 0 и // > 0, то в системе будут происходить колебания с экспоненциально возрастающей амплитудой, которые способны разрушить любую систему. Отсюда для обеспечения стабильного роста необходимо, чтобы система развивалась в области, где реали-

55

Рис. 16  Решение уравнения  (3.1)  при

псевдоположительных корнях.

(м>0, vФ0) — область запрещенного режима.

Рис. 17. Графическое решение уравнения (3.5).

зуется экспоненциальный рост, но отсутствуют колебания с экспоненциально возрастающей амплитудой. Определим в пространстве параметров уравнения (3.1), где это возможно. Из (3.4)

ехр (их) = — kx sin (vx)j(vx)

или после логарифмирования

их = In kx -j- In [— sin (vx)/(vx)]. (3.6)

Так как логарифма отрицательного числа не существует, значения и > 0 при v Ф 0 могут появляться только в диапазонах vx от л до 2л, от Зл до 4л и т. д. (рис. 18). Таким образом, согласно уравнению (3.6), по крайней мере в области 0 < vx < л отсутствуют корни характеристического уравнения с положительной действительной частью и ненулевым коэффициентом при мнимой части. Разделив (3.3) на (3.4), получим

их = — (vx) ctg (vx).

Отсюда для появления корней с и > 0 надо, чтобы

— (vx) ctg(vx) > 0.

При этом ит=#0 и ctg(inr) < 0. Граничный случай соответствует появлению положительной действительной части корня при ctgux==-= 0, откуда в областях существования псевдоположительных корней от зх до 2jt, от Зл до 4я и т. д. это условие дает

vx = (3/2) я + 2лл,   м = 0, 1,2... (3.7)

Из (3.6) их ^ 0 соответствует условию

kx ^ —- ат/sin (vx) или с учетом (3.7) для граничного случая

kx = vx = (3/2) я + 2лл,   п = 0, 1, 2 ...

56

Рис. 18. Области решения уравнения (3 6), где могут быть корни и > О, v ф О (заштрихованы области, где не существует и > 0, v Ф 0).

Таким образом,

йт = (3/2)я (3.8)

является первым значением, начиная с которого в системе появляются колебания с возрастающей амплитудой. Подставляя это значение в уравнение (3.5), получим

их = (3/2) я ехр (— г/т),

что после графического или численного решения дает

ит = 1.293. (3.9)

Это условие показывает, что в пространстве параметров системы (3.1) имеется граница (3.8), ниже которой реализуется чисто экспоненциальный рост, а выше в системе появляются колебания с экспоненциально возрастающей амплитудой (рис. 19). До тех пор пока характеристики растущей системы находятся в области / рис. 19, возможен стабильный экспоненциальный рост. Переход через границу (3.8) в область // рис. 19 приводит к появлению в решении уравнения (2.4) колебаний с экспоненциально растущей амплитудой, в результате чего область // рис. 19 является запретной для развития.

Если в процессе роста происходит медленное изменение запаздывания, то экспоненциальное развитие процесса может происходить только до границы (3.8). На рис. 20 представлена схема, которая показывает, как при изменении запаздывания со временем к моменту времени t\ система выходит на границу области экспоненциального роста. Значит, экспоненциальная тенденция может продолжаться только до момента t\. Для стабилизации системы при выходе ее на границу (3.9) требуется либо уменьшить темп экспоненциального роста, либо уменьшить запаздывание, либо одновременно уменьшить скорость роста и запаздывание так, чтобы вернуть систему в область стабильного роста.

Рост амплитуды колебаний при выходе в критический диапазон, определяемый соотношением (3.9), фиксируется в экспериментальных данных в виде увеличения их разброса. Это — общее свой

57

t

Рис. 19. Область экспоненциального Рис. 20. Схема определения момента роста (/) и область нестабильности окончания экспоненциального роста при (//) изменении запаздывания.

ство критических точек для процессов различной природы. Так, Па-ташинский и Покровский (1975) указывают, что по мере приближения к критической точке в веществе растут флюктуации и отмечают определенное сходство флюктуационных явлений в разнообразнейших критических точках. Урысон (1973) отмечает, что индивидуальные вариации размеров тела человека при постэмбриональном росте усиливаются в период увеличения скорости роста. В связи с этим «повышение изменчивости морфологических признаков в возрастах, относящихся к периоду полового созревания, может быть объяснено определенными биологическими факторами, в частности влиянием различий в физиологическом возрасте в период прохождения индивидуумами через критические точки» (с. 26). Такую же точку зрения высказывал Томпсон (Thompson, 1945).

В критических точках наблюдается рост восприимчивости системы к внешним воздействиям (Паташинский, Покровский, 1975) и возникновение корреляции между элементами системы, не исчезающей в макроскопических масштабах (Фишер, 1968).

Граница области экспоненциального роста (3.9) отделяет пространство параметров уравнения развития (3.1), где процесс развития идет достаточно стабильно. В то же время имеется тенденция к росту в области, предельно близкой к границе (3.8), так как это обеспечивает максимальные относительные приросты, в результате чего система может достигать большего размера. Экспериментально зафиксированы механизмы отбора особей по максимальным относительным приростам (Foyc, Роус, 1964): у головастиков лягушки Rana pipiens выделен гормон, угнетающий рост медленно развивающихся особей, что приводит к их гибели.

Возникает вопрос, до каких пор требуется уходить от границы (3.8), чтобы система могла продолжать развиваться. Его решение связано с необходимостью так перестроить систему, чтобы при будущем развитии в течение некоторого периода времени она могла

68

стабильно расти. Это требует включения механизмов перестройки системы под будущие характеристики среды с учетом того, что любое управление основано на прогнозе. Таким образом, механизм перестройки системы под ее стабильное развитие в будущем должен быть опережающим, что соответствует скорости роста системы, пропорциональной ее будущим характеристикам. Запишем и виде дифференциального уравнения такой механизм:

x = kx(t + т). (ЗЛО)

Для интегрирования этого уравнения треб>ется знать начальную функцию

*(/) = ф(0,    /€=[Г0>  (/0+т)].

Анохин (1962) считал опережающее отражение действительно сти свойством живой материи, обеспечивающим адаптации биоло гических систем к будущим изменениям среды. Такие явления на зываются преадаптацией (Henderson, 1979). Как правило, прогно*. будущих состояний проводится на основе экстраполяции сложив шихся тенденций в будущее с учетом того, что уже было.* Однако скачкообразные изменения тенденций развития противоречат таким представлениям. Чем длительнее период, в течение которого фиксируется одна тенденция, тем меньший остается интервал будущих изменений характеристик системы, где будет продолжаться сложившаяся тенденция. Сосуществование в процессах   развития опережающих и запаздывающих механизмов описывается уравнениями Гамильтона. Для процесса с динамикой,   представленной уравнением (3.1), функция Гамильтона Н имеет вид

# = — y(t)kx (/т), а сопряженная переменная определяется из уравнения ij> (/) = — дН/дх = Н (/ + т).

Таким образом, для системы, развитие которой описывается дифференциальным уравнением запаздывающего типа, сопряженная переменная определяется уравнением опережающего типа. Это показывает, что наряду с механизмами запаздывания при развитии систем существуют и механизмы опережающего типа.

Рассмотрим структуру решений уравнения (3.10). Характеристическое уравнение для него запишется в виде

z exp (zt) = k exp [z (t + т)]

или

zx = kx exp (zt). (3.11)

При v = 0, и > 0, как и раньше, будет реализовываться режиу экспоненциального роста. На рис. 21 приведены варианты графического решения этого уравнения, откуда видно, что наибольшее

59

значение /гт, при котором имеется решение характеристического уравнения (3.11), соответствует условиям

Лт=1/е, (3.12)

ит=1. (3.13)

Это показывает, что экспоненциальные режимы роста для уравнения опережающего типа будут поддерживаться в области ниже границы (3.13).

Из (3.9) и (3.13) получим область, в которой реализуемы режимы стабильного роста (см. рис. 22). При выходе процесса на границу (3.9) для стабилизации его характеристик необходимо перестроить параметры так, чтобы система оказалась в области, где параметры процессов запаздывающего и опережающего типов согласованы. Значит, для стабилизации системы за счет изменения относительных приростов требуется скачок в относительных приростах не менее чем в 1.29 раза, т. е. переход между границами области стабильного роста для уравнений запаздывающего (3.9) и опережающего (3.13) типов дает отношение темпов и\/и2 = 1.29.

Это позволяет, зная начальный темп роста, зависимость т = ==/(/) и начальный размер системы, определить характер ее роста в будущем и положение критических точек (см. рис. 23). Темп роста на кривой в полулогарифмическом масштабе есть угол наклона линейного участка зависимости к оси абсцисс. Измерив эту величину, можно отложить ее значение в квадранте / рис. 23. Это значение темпа экспоненциального роста может быть реализовано только до границы (3.9), которая определяет величину запаздывания, при которой темп роста изменится. По зависимости % = f(t) в квадранте IV рис. 23 критическая величина запаздывания определяет время наступления критической точки, а по ней определяется конец экспоненциального режима с начальным темпом. Уменьшив начальный темп в 1.29 раза, получим новый уровень темпов роста, которым и определим угол наклона в квадранте III рис. 23.

£0

Таким образом, в основе определения тенденций роста и возрастов наступления критических периодов в экспоненциальном развитии лежит зависимость запаздывания от внутренних и внешних факторов. Выяснив структуру таких зависимостей, можно использовать их для исследования и прогнозирования особенностей процессов развития (Кузьмин, Ленская, 1974; Чуев и др , 1975; Кобринский, Кузьмин, 1981).

Рассмотренное уравнение развития (3.1) принадлежит к неустойчивому типу. В процессах развития наряду со стадиями роста имеются также стадии, на которых размер системы убывает. Они описываются уравнением развития устойчивого типа

х = — kx (t — т),

где k > 0, т > 0. Будем искать решения этого уравнения в экспоненциальной форме, для чего получим характеристическое уравнение

2 = — kexp(— их). Это уравнение при отсутствии колебаний (и=0) имеет вид

и = — &ехр(— их), (3.14>

его графическое решение приведено на рис. 24. Наибольшее значение kx, при котором имеются решения, соответствует

kx=l/e, (3.15)

при этом

ит = — 1. (3.16)

Таким образом, соотношения (3.8) и (3.9) определяют ограничения на пространство параметров уравнения развития неустойчивого типа, а (3.15) и (3.16)—уравнения развития устойчивого типа. Соотношения (3.9) и (3.16) содержательно определяют огра

$1

ннчения на пределы применимости функций плотности распределения математической статистики, в результате чего ^пользуются при обработке экспериментальных данных, ориентированных на выявление диапазонов, внутри которых статистические совокупности однородны (Евтихиев, Кузьмин, 1982; Кобринский, Кузьмин, 1981).

3.2. Критические уровни моделей аллометрического развития

Рассмотрим общие свойства модели   развития устойчивого типа, представленной уравнением (2.5):

x = — k(t)x[t — i{t)]. (3.17)

Будем искать решения уравнения (3.17) в виде

х = Xq ехр [— z (/) /]. (3.18)

В связи с тем что k(t) и x(t) являются переменными, темп изменения размера системы также ищется как функция времени. Из (3.18) следует

х = *о [г (t) + z (t)] ехр [- z (/) /], (3.19)

и подстановка (3.18) и (3.19) в (3.17) приводит к уравнению

i(t)t + z(t) = k (t) ехр [—z (t-x)(t-x) + z (/) /].      (3.20)

В связи с невозможностью иметь величину запаздывания, большую, чем возраст системы, что изменило бы класс уравнения (3.17), критической точке t+ соответствует условие

/, = т. (3.21)

Соотношение (3.21) общепринято как характеристика критического состояния. Класс процессов, у которых относительные приросты с возрастом убывают, определяется условием

z(O<0. (3.22)

Тогда из (3.20) и (3.21) следует

г (О /. + г (О = к (О ехр [ - z (О (3.23)

С учетом (3.22) перепишем (3.23) в виде

0 > z (О t, = - z (О + к (О ехр [- z (О *,]. (3.24)

Из (3.24) получим

г Ю> МО «р [-z(0(3.25)

Умножив обе части неравенства (3.25) на /*, получим z(t.)K>k(0t,zxp[-z(0a

62